Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1 - Capítulo 6.1 - Ex. 36

Nos problemas 35-40, resolva a equação diferencial dada fazendo a substituição x = e t .

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = ln ⁡ x 2

Passo 1

Opa! Como vai?

A gente quer resolver essa EDO aqui:

x 2 y ' ' - 4 x y ' + 6 y = ln ⁡ x 2

Fazendo a substituição x = e t :

e 2 t y ' ' - 4 e t d y d x + 6 y = ln ⁡ e 2 t

e 2 t y ' ' - 4 e t d y d x + 6 y = 2 t

Agora precisamos colocar as derivadas de y em função de t também:

d y d x = d y d t ⋅ d t d x = 1 x d y d t = 1 e t d y d t

E daí teremos:

d 2 y d t 2 = 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir isso na EDO e ver no que dá:

e 2 t y ' ' - 4 e t d y d x + 6 y = 2 t

e 2 t 1 e 2 t d 2 y d t 2 - d y d t - 4 e t 1 e t d y d t + 6 y = 2 t

d 2 y d t 2 - d y d t - 4 d y d t + 6 y = 2 t

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 2 t

Nossa equação homogênea associada então é:

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 0

Show! Nossa equação auxiliar então é:

m 2 - 5 m + 6 = 0

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação e encontra:

m 1 = 2     e     m 2 = 3

A solução geral então é:

y g = c 1 e - 2 t + c 2 e - 3 t

Beleza, vamos pra parte não homogênea agora...

Passo 4

Bom, como a gente tem 2 t   do outro lado, vamos chutar uma solução do tipo:

y p = A t + B

Aí a gente vai encontrar esse coeficiente A . Pra isso a gente tem que substituir na EDO. Vamos descobrir as derivadas:

y p ' = A

y p ' ' = 0

Substituindo:

y ' ' - 5 y ' + 6 y = 2 t

0 - 5 A + 6 A t + B = 2 t

- 5 A + 6 A t + 6 B = 2 t

Daí temos que:

6 A t = 2 t → A = 1 3

- 5 A + 6 B = 0

- 5 3 + 6 B = 0 → B = 5 18

Então:

y p =   - 1 3 t + 5 18

Passo 5

Nossa solução então é:

y = y g + y p

y = c 1 e 2 t + c 2 e 3 t - 1 3 t + 5 18

E como x = e t , temos t = ln ⁡ x . E a nossa solução é:

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 - 1 3 ln ⁡ x + 5 18

e... acabamos!

Resposta

y = c 1 x 2 + c 2 x 3 - 1 3 ln ⁡ x + 5 18

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