Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

4 y ' ' - 4 y ' - 3 y = 0 ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 5

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever 4 y ' ' - 4 y ' - 3 y = 0

Assim:

4 m 2 - 4 m - 3 = 0

Resolvendo a equação:

∆ = ( - 4 ) ² - 4.4 . ( - 3 ) = 64

m 1 = 4 + 8 8 = 3 2                               m 2 = 4 - 8 8 = - 1 2

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 3 2 x + c 2 . e -   1 2 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 1 :

y 0 = 1 = c 1 . e 3 2 . 0 + c 2 . e -   1 2 . 0

c 1 + c 2 = 1

E agora y ' 0 = 5 :

y ' 0 = 5 = 3 2 . c 1 . e 3 2 . 0 - 1 2 c 2 . e - 1 2 . 0

3 2 c 1 - 1 2 c 2 = 5

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 = 1 3 2 c 1 - 1 2 c 2 = 5

De onde encontramos c 1 = 11 4 e c 2 = - 7 4

Então:

y = 11 4 . e 3 2 x - 7 4 . e -   1 2 x

Resposta

y = 11 4 . e 3 2 x - 7 4 . e -   1 2 x

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