Enunciado

Nos problemas 37-52, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.

d 4 y d x 4 - 3 d 3 y d x 3 + 3 d 2 y d x 2 - d y d x = 0 ,       y 0 = y ' 0 = 0 ,   y ' ' 0 = y ' ' ' 0 = 1

Passo 1

E aíí, vamos pra mais um probleminha?

Vimos nessa seção do seu livro que para resolver uma equação diferencial de n-ésima ordem, vamos usar a equação auxiliar:

a . m n + b . m n - 1 + … = 0

1) Se tivermos raízes reais e distintas a solução geral da EDO é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x + … + c n . e m n x

2) Se tivermos raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos raízes complexas conjugadas, a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x + …

Que podemos simplificar usando a fórmula de Euler:

e a . i = cos ⁡ a + i . s e n ( a )

e - a . i = cos ⁡ a - i . s e n ( a )

E aí depois disso vamos aplicar as condições iniciais que ele deu, pra aí descobrirmos os valores das constantes

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever d 4 y d x 4 - 3 d 3 y d x 3 + 3 d 2 y d x 2 - d y d x = 0

y ' ' ' ' - 3 y ' ' ' + 3 y ' ' - y ' = 0

Assim:

m 4 - 3 m 3 + 3 m 2 - m = 0

m . m 3 - 3 m 2 + 3 m - 1 = 0

Resolvendo a equação, encontramos uma raíz valendo m = 0 e 3 raízes valendo m = 1

Então, a nossa solução geral fica assim:

y = c 1 . e 0 x + c 2 . e 1 x + c 3 . x . e 1 x + c 4 . x ² . e 1 x

y = c 1 + c 2 . e 1 x + c 3 . x . e 1 x + c 4 . x ² . e 1 x

Agora temos que aplicar as condições iniciais, beleza?

Passo 3

Fazendo y 0 = 0 :

y 0 = 0 = c 1 + c 2 . e 1 . 0 + c 3 . 0 . e 1 . 0 + c 4 . 0 . e 1 . 0

c 1 + c 2 = 0

Fazendo y ' 0 = 0 :

y ' 0 = 0 = c 2 + c 3

E agora y ' ' 0 = 1 :

y ' ' 0 = 1 = c 2 + 2 c 3 + 2 c 4

E por fim, y ' ' ' 0 = 1 :

y ' ' ' 0 = 1 = c 2 + 3 c 3 + 6 c 4

Então temos o sistema:

c 1 + c 2 = 0 c 2 + c 3 = 0 c 2 + 2 c 3 + 2 c 4 = 1 c 2 + 3 c 3 + 6 c 4 = 1

De onde encontramos c 1 = 2 , c 2 = - 2 , c 3 = 2 e c 4 = - 1 2

y = 2 - 2 . e 1 x + 2 . x . e 1 x - 1 2 . x ² . e 1 x

Resposta

y = 2 - 2 . e 1 x + 2 . x . e 1 x - 1 2 . x ² . e 1 x

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