Enunciado

Nos problemas 3-8, escreva na forma 8 a solução para o problema de valor inicial dado.

6. 1 4 x ' ' + 16 x = 0 ,   x 0 = 4 ,   x ' 0 = 16

Passo 1

Então pessoal, nessas questões de 3-8 devemos encontrar uma solução geral x t escrita nesse formato aqui ó:

x t = A . s e n ω t + θ

No qual:

A = c 1 + c 2

E θ é um ângulo de fase definido por:

tan ⁡ θ = c 1 c 2

E para resolvermos a equação diferencial propriamente dita devemos apenas encontrar as raízes da equação característica, ou seja, precisamos fazer aquelas típicas substituições x ' ' = m 2 ,   x ' = m   e   x = 1 para encontrarmos as raízes da equação.

Parece muita informação, não é mesmo? Mas fiquem tranquilos, não tem nada de anormal na resolução desses problemas, prometo! Bora começar a resolver esse trem aí para vocês verem que é de boa, saca só!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

1 4 x ' ' + 16 x = 0

Fazendo as substituições citadas no passo 1 :

1 4 m 2 + 16 = 0

m 2 + 64 = 0

Logo:

m 1 = 8 i

m 2 = - 8 i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Aqui vale ressaltar que todos os problemas terão essa solução, ok? Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ 8 t + c 2 s e n   8 t

Show!

Passo 3

Agora o que precisamos fazer é encontrar essas constantes c 1 e c 2 , não é mesmo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais do problema, que são:

x 0 = 4 ,   x ' 0 = 16

Aplicando a primeira condição:

4 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = 4

Agora aplicando a segunda condição:

x ' t = - 8 c 1 . s e n   8 t + 8 c 2 . cos ⁡ 8 t

16 = - 8 c 1 s e n   0 + 8 c 2 cos ⁡ 0

16 = 8 c 2

c 2 = 2

Então teremos a seguinte solução:

x t = 4 cos ⁡ 8 t + 2 s e n   8 t

Top, top! Agora que encontramos a solução geral vamos escreve-la no outro formato que o enunciado pediu, vem comigo!

Passo 4

O formato é:

x t = A . s e n ω t + θ

Encontrando A :

A = c 1 2 + c 2 2 = 16 + 4 = 2 5

Agora encontrando θ :

tan ⁡ θ = c 1 c 2 = 4 2 = 2

θ = a r c tan ⁡ 2 = 1,1

Portanto nossa solução no formato solicitado será:

x t = 2 5 . s e n 8 t + 1,1

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

x t = 2 5 . s e n 8 t + 1,1

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