Enunciado

Nos problemas 3-8, escreva na forma 8 a solução para o problema de valor inicial dado.

8. x ' ' + x = 0 ,   x 0 = - 4 ,   x ' 0 = 3

Passo 1

Então pessoal, nessas questões de 3-8 devemos encontrar uma solução geral x t escrita nesse formato aqui ó:

x t = A . s e n ω t + θ

No qual:

A = c 1 + c 2

E θ é um ângulo de fase definido por:

tan ⁡ θ = c 1 c 2

E para resolvermos a equação diferencial propriamente dita devemos apenas encontrar as raízes da equação característica, ou seja, precisamos fazer aquelas típicas substituições x ' ' = m 2 ,   x ' = m   e   x = 1 para encontrarmos as raízes da equação.

Parece muita informação, não é mesmo? Mas fiquem tranquilos, não tem nada de anormal na resolução desses problemas, prometo! Bora começar a resolver esse trem aí para vocês verem que é de boa, saca só!

Passo 2

Nossa equação diferencial é:

x ' ' + x = 0

Fazendo as substituições citadas no passo 1 :

m 2 + 1 = 0

Logo:

m 1 = i

m 2 = - i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Aqui vale ressaltar que todos os problemas terão essa solução, ok? Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t

Show!

Passo 3

Agora o que precisamos fazer é encontrar essas constantes c 1 e c 2 , não é mesmo? Para isso vamos utilizar as condições iniciais do problema, que são:

x 0 = - 4 ,   x ' 0 = 3

Aplicando a primeira condição:

- 4 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = - 4

Agora aplicando a segunda condição:

x ' t = - c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

3 = - c 1 s e n   0 + c 2 cos ⁡ 0

c 2 = 3

Então teremos a seguinte solução:

x t = - 4 cos ⁡ t + 3 s e n   t

Top, top! Agora que encontramos a solução geral vamos escreve-la no outro formato que o enunciado pediu, vem comigo!

Passo 4

O formato é:

x t = A . s e n ω t + θ

Encontrando A :

A = c 1 2 + c 2 2 = 16 + 9 = 5

Agora encontrando θ :

tan ⁡ θ = c 1 c 2 = - 4 3

θ = a r c tan ⁡ - 4 3 = - 0,927

Portanto nossa solução no formato solicitado será:

x t = 5 . s e n t - 0,927

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

x t = 5 . s e n t - 0,927

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17. Uma outra mola de constante elástica 20 N m é suspensa no mesmo suporte rígido, mas paralela ao sistema massa mola do problema 16. Uma massa de 20k g é atada à segunda mola e ambas são soltas a pa
Mostre que, quando um peso atado a uma mola apresenta movimento harmônico simples, o valor máximo da velocidade (isto é, v t ocorre quando o peso está passando pela posição de equilíbrio.
Se x 0 e v 0 são a posição inicial e a velocidade inicial, respectivamente, de um peso em movimento harmônico simples, mostre que a amplitude das vibrações é: A = x 0 2 + v 0 ω 2
Uma massa de 1 k g é suspensa por uma mola de constante característica 9 N m . Inicialmente, a mssa aprte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 3 m s para cima. Calcule
Sob certas circunstâncias, quando duas molas paralelas, com constantes k 1 e k 2 , suportam um único peso W , a constante de elasticidade efetiva do sistema é dada por k = 4 k 1 k 2 k 1 + k 2 . Um pes