Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

42. 1 + x 4 d y + x 1 + 4 y 2 d x = 0 , no qual y 1 = 0 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

1 + x 4 d y + x 1 + 4 y 2 d x = 0

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

1 + x 4 d y = - x 1 + 4 y 2 d x

d y 1 + 2 y 2 = - x 1 + x 2 2 d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y 1 + 2 y 2 = - ∫ x 1 + x 2 2 d x

Para a integral da esquerda temos um resultado pronto e tabelado, galera! Se consultarmos uma tabelinha de integrais, teremos que o resultado é:

∫ d u a 2 + u 2 = 1 a a r c tan ⁡ u a + c

Como no nosso caso u = 2 y e a = 1 , então:

∫ d y 1 + 2 y 2 = 1 2 a r c tan ⁡ 2 y + c 1

Passo 3

Para a integral da direita precisamos fazer uma substituiçãozinha simples, que será:

u = x 2

d u 2 = x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

- 1 2 ∫ d u 1 + u 2

E como vimos no passo anterior, o resultado dessa integral é conhecido, saca só:

- 1 2 ∫ d u 1 + u 2 = - 1 2 a r c tan ⁡ u + c 2

Voltando para a variável x :

- ∫ x 1 + x 2 2 d x = - 1 2 a r c tan ⁡ x 2 + c 2

Passo 4

Por fim, igualando os resultados:

1 2 a r c tan ⁡ 2 y + c 1 = - 1 2 a r c tan ⁡ x 2 + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

1 2 a r c tan ⁡ 2 y = - 1 2 a r c tan ⁡ x 2 + c 3

1 2 a r c tan ⁡ 2 y + 1 2 a r c tan ⁡ x 2 = c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 1 = 0 , teremos

a r c tan ⁡ 0 + a r c tan ⁡ 1 = c 3

Como sabemos, a r c tan ⁡ 0 = 0 e a r c tan ⁡ 1 = π 4 . Logo:

π 4 = c 3

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

a r c tan ⁡ 2 y + a r c tan ⁡ x 2 = π 4

E está aí a resolução! 😉

Resposta

a r c tan ⁡ 2 y + a r c tan ⁡ x 2 = π 4

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