Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

43. y d y = 4 x y 2 + 1 1 2 d x , no qual y 0 = 1 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

y d y = 4 x y 2 + 1 1 2 d x

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

y y 2 + 1 1 2 d y = 4 x d x

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ y y 2 + 1 1 2 d y = 4 ∫ x d x

Para a integral do lado esquerdo vamos aplicar uma substituição simples, ok? A substituição será:

u = y 2 + 1

Derivando:

d u = 2 y d y ⇒ d u 2 = y d y

Substituindo na integral, teremos:

1 2 ∫ d u u 1 2 = 1 2 ∫ u - 1 2 d u

E para resolver a integral dessa forma vamos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 . 2 u 1 2 + c 1 = u 1 2 + c 1

Voltando para a variável y :

∫ y y 2 + 1 1 2 d y = y 2 + 1 1 2 + c 1

Passo 3

Para a integral da direita basta aplicarmos a regrinha que aplicamos no passo anterior, só que de forma direta mesmo, saca só:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Para nossa integral, teremos:

4 ∫ x d x = 4 x 2 2 + c 2

4 ∫ x d x = 2 x 2 + c 2

Passo 4

Por fim, igualando os resultados:

y 2 + 1 1 2 + c 1 = 2 x 2 + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

y 2 + 1 1 2 = 2 x 2 + c 3

y 2 + 1 1 2 - 2 x 2 = c 3

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 0 = 1 , teremos:

1 + 1 1 2 - 0 = c 3

∴ c 3 = 2

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

y 2 + 1 1 2 - 2 x 2 = 2

E está aí a resolução! 😉

Resposta

y 2 + 1 1 2 - 2 x 2 = c 3 = 2

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