Enunciado

Nos problemas 48 e 49, use os resultados do Problema 47.

No capítulo 6, veremos que as soluções y 1   e   y 2 para x y ' ' + y ' + x y = 0 ,     0 < x < ∞ , são séries infinitas. Suponha que consideremos as condições iniciais:

y 1 x 0 = k 1 ,     y 1 ' x 0 = k 2

y 2 x 0 = k 3 ;       y 2 ' x 0 = k 4

Para x 0 > 0 . Mostre que

W y 1 , y 2 = k 1 k 4 - k 2 k 3 x 0 x

Passo 1

Pra resolver isso aqui a gente vai usar a fórmula de Abel que provamos ali no número 47:

W = W ( x 0 ) e - ∫ x x 0 a 1 t a 2 t   d t

Na nossa equação:

x y ' ' + y ' + x y = 0

Então identificamos:

a 2 x = x

a 1 x = 1

Passo 2

Substituindo na fórmula:

W = W ( x 0 ) e - ∫ 1 t   d t

W = W x 0 e - ln ⁡ t ] x 0 x

W = W x 0 e - ln ⁡ x + ln ⁡ x 0

W = W ( x 0 ) e - ln ⁡ x e ln ⁡ x 0

W = W ( x 0 ) x 0 x

Passo 3

Agora vamos calcular o Wronskiano da forma tradicional...

W ( x 0 ) = y 1 ( x 0 ) y 2 ( x 0 ) y 1 ' ( x 0 ) y 2 ' ( x 0 )

W ( X 0 ) = y 1 x 0 y 2 ' x 0 - y 2 x 0 y 1 ' ( x 0 )

E aí substituindo os valores que a questão nos deu:

W ( x 0 ) = k 1 k 4 - k 3 k 2

Passo 4

Substituindo isso na equação do Passo 2:

W = k 1 k 4 - k 3 k 2 x 0 x

Como queríamos demonstrar 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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