Enunciado

No método dos coeficientes indeterminados, a forma da solução particular y p para y ' ' - y = 1 + e x é __________.

Passo 1

Então galera, assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = 1 + e x

m 2 - 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = 1

m 2 = - 1

Como as raízes são distintas, então teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 e x + c 2 e - x

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = 1 + e x

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

Como temos a = 1 , então nosso primeiro operador será:

D - 1

E quando temos uma função no formato k o seguinte operador anula nossa função:

D

Dessa forma nosso operador completo será D D - 1 . Aplicando na nossa equação, teremos:

y ' ' - y = 1 + e x

D 2 y - y = 1 + e x

D 2 - 1 y = 1 + e x

D D - 1 D 2 - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola!

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

D D - 1 D 2 - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 3 = 1

m 2 = - 1

m 4 = 0

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e x + c 2 e - x + c 3 x e x + c 4

Observe que o termo c 1 e x + c 2 e - x é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A + B x e x

E está aí nossa solução particular, galera! 😉

Resposta

y p = A + B x e x

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15. y ' ' ' + 10 y ' ' + 25 y ' = 0