Enunciado

  1. Verifique que y = 1 x é uma solução para a equação diferencial não-linear y ' ' = 2 y 3 no intervalo ( 0 ,   ∞ ) .
  2. Mostre que um múltiplo y = c / x não é uma solução para a equação quando c ≠ 0 , ± 1 .

Passo 1

Opa! Tudo belezinha?

  1. Olha só, para testar que y = 1 x é solução de y ' ' = 2 y 3 , precisamos calcular y ' ' e substituir na EDO. Vamos lá...
  2. y ' =   - 1 x 2

    y ' ' = 2 x 3

    Daí, substituindo isso na EDO, temos:

    2 x 3 = 2 1 x 3

    2 x 3 = 2 x 3

    E assim vemos que é sim, solução 😉

    Passo 2

  3. Agora vamos mostrar que y = c x não é solução se c não for 0   o u ± 1 .

Bom, com c = ± 1 é a que a gente fez ali em cima.

Vamos ver para o caso de não ser esses valores...

Temos:

y ' = - c x 2

y ' ' = 2 c x 3

Substituindo na EDO, ficamos com:

2 c x 3 = 2 c x 3

2 c x 3 = 2 c 3 x 3

2 c - 2 c 3 = 0

c - c 3 = 0

E isso só é possível para c = 0 ou c = ± 1 , como queríamos demonstrar😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. 4 y ' ' - 4 y ' + y = 0 ;e x 2 ,
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. y ' ' - 4 y = 0 ; cosh ⁡ 2 x ,s
Nos problemas 33-40, verifique que as funções dadas formam um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial no intervalo indicado. Forme a solução geral. x 2 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0 ;