Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 3 + 10 D 2 + 25 D

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 3 + 10 D 2 + 25 D

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 3 + 10 D 2 + 25 D = 0

Colocando D em evidência:

D . D 2 + 10 D + 25 = 0

Então as possibilidades são:

D = 0                     o u                   D 2 + 10 D + 25 = 0

Na primeira possibilidade já temos a raíz D = 0 , agora vamos achar as raízes da segunda possibilidade:

D 2 + 10 D + 25 = 0

Calculando o :

∆ = 10 2 - 4.1 . 25 = 100 - 100 = 0

Então:

D = - 10 ± 0 2 = - 5

Como o nosso deu 0, temos uma raíz dupla em D = - 5

Então nossas raízes são D = 0 e uma raíz dupla em D = - 5 , assim, temos:

D . ( D + 5 ) ²

E é issoooo

Resposta

D . ( D + 5 ) ²

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