Enunciado

Expresse o número complexo dado na forma R (cos theta + i sen theta) = R e^(i theta) .

sqrt(3) - i

Passo 1

O exercício nos fornece um número complexo a = sqrt(3) - i e nos pede para escrevê-lo nas formas R (cos theta + i sen theta) = R e^(i theta) . Porém antes de fazer isto, vamos rever a importância dessa operação.

Se temos uma equação diferencial homogênea da forma y^(( n )) + a_1 y^((n - 1)) + ... + a_n y = 0

Suas soluções devem ser algo como y_1 = e^((r_1) t) , y_2 = e^((r_2) t) ,..., y_n = e^((r_n) t) , com r_1 , r_2 ... r_n sendo as raízes de uma equação polinomial de ordem n . Tudo bem até aqui?

Se a equação possuir raízes complexas, então teremos soluções da forma y_m = e^((lambda + i) t) .

De acordo com a fórmula de Euler podemos expressar uma função e^((lambda + i) theta) de uma forma mais conveniente como:

R e^((lambda + i) theta) = e^(lambda theta) R (cos theta + i sen theta) ,

Em que R é o módulo do número e theta é o ângulo polar.

Assim, o exercício nos pede para treinar esta conversão de uma exponencial complexa para as funções seno e cosseno equivalentes. Vamos lá???

Passo 2

Temos então a seguinte raiz complexa:

a = sqrt(3) - i

Se esta é a raiz da equação, então a função solução é:

y = R e^((a) theta)

y = R e^((sqrt(3) - i) theta)

Agora que já encontramos a exponencial vamos calcular o módulo do número. Ele é definido por:

R = sqrt(a_r^2 + a_i^2)

Em que a_r é o coeficiente real e a_i é a coordenada imaginária. Neste caso, a_i = - 1 e a_r = sqrt(3) . Então:

R = sqrt(sqrt(3)^2 + ( - 1 )^2)

R = sqrt(3 + 1)

R = 2

Vamos agora determinar o ângulo polar. Para isso, usaremos a relação:

tan theta = (a_i)/(a_r)

tan theta = - (1)/(sqrt(3)) = - (sqrt(3))/(3)

theta = - (pi)/(6) + 2 m pi

Passo 3

Iremos agora aplicar a fórmula de Euler na equação:

y = R e^((lambda + i) theta) = R e^(lambda theta) e^(i theta)

R e^(lambda theta) e^(i theta) = R e^(lambda theta) ( cos theta + i sen theta )

R e^(i theta) = R ( cos theta + i sen theta )

2 e^(i (- (pi)/(6) + 2 m pi)) = 2 (cos (- (pi)/(6) + 2 m pi) + i sen (- (pi)/(6) + 2 m pi))

2 e^(i (- (pi)/(6) + 2 m pi)) = 2 (cos ((pi)/(6)) - i sen ((pi)/(6)))

Resposta

O número complexo sqrt(3) - i pode ser escrito como 2 e^(i (- (pi)/(6) + 2 m pi)) .

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