Enunciado

Mostre que, se uma população cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer tempo, então o tempo de duplicação da população é t = ln ⁡ 2 k , em que k é a taxa positiva de crescimento. Essa é a conhecida Lei de Malthus.

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que vimos no capítulo 3, a equação que define o crescimento populacional é:

d P d t = k P

No qual P 0 = P 0 , que é a população inicial. Isolando as variáveis, teremos:

d P P = k d t

Integrando:

∫ d P P = k ∫ d t

Que nos dá como resultado:

ln ⁡ P = k t + c

∴ P t = C e k t

Passo 2

Agora que encontramos P vamos aplicar a condição inicial, saca só:

P 0 = C e 0

C = P 0

Substituindo na nossa solução, teremos:

P t = P 0 e k t

O tempo de duplicação da população acontecerá para P = 2 P o , logo:

2 P 0 = P 0 e k t

2 = e k t

Aplicando l n em ambos os lados, teremos:

ln ⁡ 2 = k t

∴ t = ln ⁡ 2 k

Que é exatamente a expressão que queríamos encontrar! 😉

Resposta

Demonstração.

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