Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 3 + 4 D

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 3 + 4 D

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 3 + 4 D = 0

Colocando D em evidência:

D . ( D 2 + 4 ) = 0

Então as possibilidades são:

D = 0                     o u                   D 2 + 4 = 0

Na primeira possibilidade já temos a raíz D = 0 , e na segunda possibilidade, temos:

D 2 + 4 = 0

D 2 = - 4

Opa opa opa, não temos valores reais que cumpram com essa igualdade. Então não vamos fatorar o D 2 + 4 , belezinha?

Então nossa fatoração do D 3 + 4 D fica assim:

D . ( D 2 + 4 )

E é issoooo

Resposta

D . ( D 2 + 4 )

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2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0
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1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
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