Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 = 0

Ta, mas como encontramos as raízes dessa equação?

Vamos usar o teorema das raízes racionais, ta bom? Ele diz que nossas raízes serão na forma p q

Mas quem é p e quem é q ?

Primeiramente, o nosso termo independente 10 tem que ser divisível por p , então os possíveis valores de p são:

± 1 ,   ± 2 , ± 5 ,   ± 10

E em segundo, o nosso coeficiente do termo de maior grau (no caso, é o 1 que multiplica o D ³ ), tem que ser divisível por q , então os possíveis valores de q são:

± 1

Como nossas raízes têm o formato p q , as possíveis raízes são:

p q :     ± 1 ,   ± 2 ,   ± 5 ,   ± 10

Agora vamos testar essas raízes

Passo 3

Temos a equação

D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 = 0

Que tem como possíveis raízes:

p q :     ± 1 ,   ± 2 ,   ± 5 ,   ± 10

Testando D = + 1 :

1 3 + 2.1 2 - 13.1 + 10 = 0

1 + 2 - 13 + 10 = 0

- 10 + 10 = 0

0 = 0

Opaaaaaaa, peraí que já encontramos uma raíz da nossa equação

Isso mesmo galerinha, de cara já vimos que D = + 1 é uma raíz de D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10

Então agora você tem duas opções:

- Ou você continua testando as raízes pra encontrar as duas raízes que faltam

- Ou você divide D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 por ( D - 1 ) , aí você vai encontrar uma equação do 2° grau e encontra as raízes restantes usando Bháskara

Vamos usar a segunda opção ta bom?

Passo 4

Dividindo D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 por ( D - 1 ) :

D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 D - 1

Fazendo a divisão de polinômios, encontramos

D 2 + 3 D - 10

Ou seja, podemos escrever D 3 + 2 D 2 - 13 D + 10 assim:

D - 1 . ( D 2 + 3 D - 10 )

Pra encontrarmos as raízes restantes, vamos fazer

D 2 + 3 D - 10 = 0

∆ = 3 2 - 4.1 . - 10 = 9 + 40 = 49

Então:

D = - 3 ± 49 2 = - 3 ± 7 2

Então, nossas raízes são D = 2 e D = - 5 (repara que são raízes que estavam nas possibilidades lá no passo 2 em p q )

Juntando com a outra raíz que já encontramos ( D = 1 ) nossa fatoração fica assim:

D - 1 . D - 2 . ( D + 5 )

Resposta

D - 1 . D - 2 . ( D + 5 )

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