Enunciado

Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) }

Passo 1

E aíí colega, bora pra mais uma??

Queremos calcular essa transformada:

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) }

Lembrando que * é símbolo de convolução ok?

Bem, vamos lembrar do teorema 7.9 do seu livro: ele diz que a transformada da convolução entre duas funções vai ser o produto das transformadas de cada uma, sendo assim:

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) } = L e 2 t . L s e n ⁡ ( t )

Agora é só calcular essas transformadas e multiplicar, sacou?

Passo 2

Temos:

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) } = L e 2 t . L s e n ⁡ ( t )

Usando o teorema 7.2 do seu livro, temos:

L e 2 t = 1 s - 2

E também:

L s e n ⁡ ( t ) = 1 s 2 + 1

Portanto:

L e 2 t * sen ⁡ t = L e 2 t . L sen ⁡ t

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) } = 1 s - 2 . 1 s 2 + 1

Então, nossa transformada é:

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) } = 1 ( s - 2 ) ( s 2 + 1 )

Resposta

L { e 2 t * s e n ⁡ ( t ) } = 1 ( s - 2 ) ( s 2 + 1 )

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