Enunciado

Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) }

Passo 1

E aíí colega, bora pra mais uma??

Queremos calcular essa transformada:

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) }

Lembrando que * é símbolo de convolução ok?

Bem, vamos lembrar do teorema 7.9 do seu livro: ele diz que a transformada da convolução entre duas funções vai ser o produto das transformadas de cada uma, sendo assim:

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = L e - t . L e t . c o s ⁡ ( t )

Agora é só calcular essas transformadas e multiplicar, sacou?

Passo 2

Temos:

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = L e - t . L e t . c o s ⁡ ( t )

Usando o teorema 7.2 do seu livro, temos:

L e - t = 1 s + 1

E para calcularmos L e t . c o s ⁡ ( t ) vamos usar o teorema 7.5:

L c o s ⁡ ( t ) = s s 2 + 1 → L e t . c o s ⁡ ( t ) = s - 1 ( s - 1 ) 2 + 1   ( a t r a s a m o s   u m a   a m o s t r a )

Desenvolvendo o produto notável:

L e t . c o s ⁡ ( t ) = s - 1 s 2 - 2 s + 1 + 1

L e t . c o s ⁡ ( t ) = s - 1 s 2 - 2 s + 2

Portanto:

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = L e - t . L e t . c o s ⁡ ( t )

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = 1 s + 1 . s - 1 s 2 - 2 s + 2

Então, nossa transformada é:

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = s - 1 s + 1 . ( s 2 - 2 s + 2 )

Resposta

L { e - t * e t . c o s ⁡ ( t ) } = s - 1 s + 1 . ( s 2 - 2 s + 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.9. L ∫ 0 t e - τ cos ⁡ τ d τ
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.14. L t ∫ 0 t τ e - τ d τ
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.11. L ∫ 0 t τ e t - τ d τ
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.12. L ∫ 0 t s e nτ cos ⁡ t - τ d τ
Nos problemas 7-20, encontre a transformada de Laplace da função dada sem resolver a integral.7. L ∫ 0 t e τ d τ