Enunciado

Nos problemas 31-38, use o teorema 7.10 para encontrar a transformada de Laplace da função periódica dada.

f u n ç ã o   m e a n d r o

Passo 1

Salveee cara, bora lá!

Temos essa função periódica:

O teorema 7.10 do seu livro fala que quando temos uma função periódica f ( t ) com período T , sua transformada vai ser

L f t = 1 1 - e - s T ∫ 0 T e - s t f t d t

Então vamos aplicar esse teorema aqui no nosso caso beleza? Afinal, temos uma função periódica com período T = 2 a

Passo 2

Vamos aplicar as informações da nossa função no teorema 7.10:

L f t = 1 1 - e - s T ∫ 0 T e - s t f t d t

L f t = 1 1 - e - s . 2 a ∫ 0 a e - s t . 1 d t + ∫ a 2 a e - s t . ( - 1 ) d t

L f t = 1 1 - e - s . 2 a ∫ 0 a e - s t d t - ∫ a 2 a e - s t d t

Resolvendo as integrais:

L f t = 1 1 - e - s . 2 a - 1 s . e - s t t = 0 t = a - - 1 s . e - s t t = a t = 2 a

L f t = 1 1 - e - s . 2 a - 1 s . e - s a - - 1 s . e - s . 0 - - 1 s . e - s . 2 a - - 1 s . e - s . a

L f t = 1 1 - e - s . 2 a - e - s a s + 1 s + e - s . 2 a s - e - s . a s

Arrumando tudo:

L f t = 1 s ( 1 - e - s . 2 a ) - e - s a + 1 + e - s . 2 a - e - s . a

L f t = 1 s ( 1 - e - s . 2 a ) - 2 e - s a + 1 + e - s . 2 a

Então, temos:

L f t = - 2 e - s a + 1 + e - s . 2 a s ( 1 - e - s . 2 a )

Resposta

L f t = - 2 e - s a + 1 + e - s . 2 a s ( 1 - e - s . 2 a )

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