Enunciado

Um projétil é atirado por uma arma com um ângulo de elevação cuja medida em radianos é 1 2 a e com uma velocidade inicial v 0 m/s. Se R m for o alcance do projétil, então

R = v 0 2 g s e n a                                           0 ≤ a ≤ π

Onde g m / s 2 é a aceleração devido à gravidade. (a) Se v 0 = 480 , ache a taxa de varação de R com respeito a a quando a = π 2 (isto é, o ângulo de elevação mede π 4 rad). Tome g = 10 . (b) Ache os valores de a para os quais D a   R   > 0 .

Passo 1

Bom, o enunciado nos dá a equação do alcance e o valor das constantes g e v 0 e nos pede para calcular a taxa da função R, ou seja, precisamos de sua derivada. Vamos substituir elas na equação para deixarmos as informações juntas:

R ( a ) = 480 2 10 s e n a = 23040 s e n a

Passo 2

Para a letra responder a letra (a), vamos fazer a derivada de R para obtermos a taxa com relação a a :

R ' ( a ) = 23040 c o s a

Passo 3

Agora substituímos o valor dado de a = π 2 :

R ' π 2 = 23040 c o s π 2

Resolvendo:

R ' π 2 = 23040   .   0 = 0

A taxa da função R quando a = π 2 é 0.

Passo 4

Na letra b, precisamos considerar o seguinte:

R ' a = 23040 c o s a > 0

Com isso podemos dizer que:

23040 c o s a > 0 → c o s a > 0

E o enunciado disse para a gente que 0 ≤ a ≤ π , mas a condição que escrevemos acima diz que o cosseno de a deve ser sempre maior que 0, e o intervalo dado no enunciado passa por 0 uma vez, quando a = π 2 . Então devemos diminuir esse intervalo para que o cosseno não atinja zero:

0 ≤ a <   π 2

Pronto, temos todos os valores de a   para a condição que nos deram.

Resposta

  1. R ' π 2 = 0
  2. 0 ≤ a <   π 2
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