Enunciado

A função s t descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos.

  1. Encontre as funções velocidade e aceleração.
  2. Encontre no instante t = 1 a posição, a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração.
  3. Em que instantes a partícula está parada?
  4. Quando a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade?
  5. Encontre a distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 .

s t = t t 2 + 4 ,           t ≥ 0

Passo 1

  1. Para acha a função velocidade é só derivar a função posição, vamos lá:
  2. v t = s ' t = 1 t 2 + 4 - t 2 t + 0 t 2 + 4 2 = t 2 + 4 - 2 t 2 t 2 + 4 2 = - t 2 + 4 t 2 + 4 2

    E a função aceleração é a derivada da função velocidade, vamos então derivar:

    a t = v ' t = - 2 t + 0 t 2 + 4 2 - - t 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ t 2 + 4 2 t + 0 t 2 + 4 4 =

    = - 2 t t 2 + 4 - 4 t - t 2 + 4 t 2 + 4 3 = - 2 t 3 - 8 t + 4 t 3 - 16 t t 2 + 4 3 = 2 t 3 - 24 t t 2 + 4 3

    Passo 2

  3. Aqui vamos substituir o valor de t = 1 para achar a posição, a velocidade e a aceleração em suas respectivas fórmulas achadas no passo anterior:
  4. s 1 = t t 2 + 4 = 1 1 2 + 4 = 1 5

    v 1 = - 1 2 + 4 1 2 + 4 2 = - 1 + 4 5 2 = 3 25

    a 1 = 2 ⋅ 1 3 - 24 ⋅ 1 1 2 + 4 3 = 2 - 24 5 3 = - 22 125

    Já a velocidade escalar como descreve somente quão rápido uma partícula se move, ela é dada pela fórmula:

    v t = s ' t

    Vamos substituir o valor:

    v 1 = s ' 1 = 3 25 = 3 25

    Passo 3

  5. A partícula está parada no tempo em que a função velocidade é igual a zero, vamos igualar a função a zero e achar o tempo:
  6. v t = - t 2 + 4 t 2 + 4 2 = 0 → - t 2 + 4 t 2 + 4 2 = 0 → - t 2 + 4 = 0 → t 2 = 4 → t = ± 2

    Como temos que t ≥ 0 , então:

    t = 2

    Passo 4

  7. A partícula aumenta a velocidade se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal; e a partícula diminui se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto.
  8. Vamos ver onde a velocidade e aceleração é positiva e negativa:

    No intervalo de tempo em t ≥ 0 , v t muda de sinal em t = 2 e a t muda de sinal em:

    a t = 2 t 3 - 24 t t 2 + 4 3 = 0 → 2 t 3 - 24 t = 0 → t 2 t 2 - 24 = 0 →

    → t = 0

    2 t 2 - 24 = 0 → t 2 = 12 → t = ± 12

    Mas como o intervalo de tempo aqui é t ≥ 0 , vamos considerar só t = 12 .

    Temos que a velocidade v t > 0 quando 0 < t < 2 e v t < 0 quando t > 2 .

    Já com a aceleração temos que a t > 0 quando t > 12 e a t < 0 quando 0 < t < 12 .

    Assim a partícula está acelerando em 2 < t < 12 e desacelerando em 0 < t < 2 e t > 12 .

    Passo 5

  9. A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 não deve levar em conta o quanto foi percorrido totalmente, não podendo pegar simplesmente a posição final e inicial e subtrair, assim deve ser levado em consideração o ponto onde ele estava parado, vamos então calcular pela fórmula:

s 5 - s 2 + s 2 - s 0

s 5 = 5 5 2 + 4 = 5 25 + 4 = 5 29 = 0,172

s 2 = 2 2 2 + 4 = 2 4 + 4 = 2 8 = 1 4 = 0,25

s 0 = 0 0 2 + 4 = 0

Substituindo:

s 5 - s 2 + s 2 - s 0 = 0,172 - 0,25 + 0,25 - 0 = - 0,078 + 0,25 =

= 0,078 + 0,25 = 0,328

Assim, A distância total percorrida pela partícula entre t = 0 e t = 5 é de 0,328 metros.

Resposta

  1. v t = - t 2 + 4 t 2 + 4 2 e a t = 2 t 3 - 24 t t 2 + 4 3
  2. s 1 = 1 5 , v 1 = 3 25 , a 1 = - 22 125 e v 1 = 3 25
  3. t = 2
  4. A partícula está acelerando em 2 < t < 12 e desacelerando em 0 < t < 2 e t >
  5. 12 0,328 m
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1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.(c) f x = 2 x; x = 0,x = 3 ,x = a ,a0 .
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Dado que f - 2 = 3 e f ' - 2 = - 4 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = - 2 .