Enunciado

Um projétil atirado de uma arma tem peso w = m g e velocidade v tangente à trajetória de seu movimento. Desprezando a resistência do ar e todas as outras forças exceto seu peso, encontre o sistema de equações diferenciais que descreve o movimento. Veja a figura 1.20. [Sugestão: Use a segunda lei de Newton na direção x e y.]

Passo 1

O movimento do projétil pode ser representado assim:

Onde v é a velocidade do projétil (tangente à sua trajetória) e m . g é o peso dele.

Queremos encontra um sistema de equações diferenciais que descreve o movimento, ou seja: equações diferenciais em x e y .

Para isso, vamos usar o conselho do enunciado: usar a segunda lei de Newton na direção x e na direção y .

Passo 2

A segunda lei de Newton nos diz que a força é o produto da massa com a aceleração, ou seja:

F = m . a

Aplicando isso no eixo x :

F x = m . a x

Galera, mas sabemos que a aceleração é a segunda derivada da posição não é? Então, podemos escrever assim:

F x = m . d 2 x d t ²

Como não temos força peso na direção x :

m . d 2 x d t ² = 0

Passo 3

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton na direção y :

F y = m . a y

Lembrando que a aceleração é a segunda derivada da posição:

F y = m . d 2 y d t 2

A força peso na direção y aponta pra baixo e tem valor m . g ., então:

m . d 2 y d t 2 = - m . g

Então, as duas equações diferenciais que formam um sistema para a posição do projétil são:

m . d 2 x d t ² = 0

m . d 2 y d t 2 = - m . g

Resposta

m . d 2 x d t ² = 0

m . d 2 y d t 2 = - m . g

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