Enunciado

Nos problemas 11 e 12, determine, por inspeção, pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial dado.

y ' = 3 y 2 3 ,     y 0 = 0

Passo 1

Bom galera, queremos encontrar pelo menos duas soluções para a EDO y ' = 3 y 2 3 , com y 0 = 0 .

Como ele fala que y 0 = 0 , é justo tentarmos a solução y = 0 , vamos verificar se bate:

0 ' = 3.0 2 3

0 = 0

Boaaa, a igualdade é verdadeira, então já encontramos uma solução: y = 0

Passo 2

Ta bom, agora vamos fuçar nos nossos conhecimentos de derivada para encontrarmos mais uma solução

Sabemos que a derivada de uma função do tipo y 1 = b . x n é:

d y 1 d x = b . n . x n - 1

Isso é útil no nosso problema, vamos testar?

Temos

d y d x = 3 y 2 3

Substituindo por y = b . x n     ( I ) :

b . x n ' = 3 . b . x n 2 3

b . n . x n - 1 = 3 b 2 3 . x 2 n 3

Como temos uma igualdade, podemos montar o sistema:

n . b = 3 . b 2 3 x n - 1 = x 2 n 3

Então, na segunda equação podemos escrever:

n . b = 3 . b 2 3 n - 1 = 2 n 3

Essa segunda equação aí ta tranquila né? Vamos resolver:

n - 1 = 2 n 3

3 n - 3 = 2 n

n = 3

Substituindo na primeira equação:

n . b = 3 . b 2 3

3 b = 3 . b 2 3

b = b 2 3

Então temos b = 1 ou b = 0

Passo 3

Substituindo em ( I ) os valores de n é b que encontramos:

y = b . x n     ( I )

y = 1 . x 3         o u         y = 0 . . x ³

Como a segunda solução nos dá y = 0 de novo, vamos considerar a primeira:

y = x ³

Então, encontramos duas soluções para a EDO: y = 0 (lá do passo 1) e y = x ³

Resposta

y = 0

y = x ³

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