Provar que:

y = arc cosec x , então y' = -1/(|x|raiz(1+x^2)), x≠0

Passo 1

Bom, pela definição das funções hiperbólicas, nós podemos reescrever a função arco cossecante hiperbólico assim:

y = a r c co sech ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 x )  

E aí a gente pode derivar essa função usando as regrinhas que a gente já sabe...

Passo 2

Como temos o módulo, podemos provar só para x > 0 , pois com x < 0 será da mesma forma...

Pela regra da cadeia, a gente faz:

y ' = 1 1 x + 1 + x 2 x 1 x + 1 + x 2 x '

Vamos derivando e desenvolvendo agora...

y ' = 1 1 + 1 + x 2 x 2 x 2 1 + x 2 x - 1 1 + 1 + x 2 x 2  

= x 1 + 1 + x 2 x 2 1 + x 2 - 1 - 1 + x 2 x 2

= x 1 + 1 + x 2 x 2 - 1 + x 2 - 1 - x 2 )   1 + x 2 x 2  

= 1 1 + 1 + x 2 - 1 + 1 + x 2 x 1 + x 2

=   - 1 x 1 + x 2

Ou seja, para x ≠ 0 , temos que a derivada é:

- 1 | x | 1 + x 2

Prontinho! Chegamos ao resultado que queríamos😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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