Provar por indução matemática:

∑ i = 1 n i 4 = n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30

Passo 1

Parte 1:

Primeiro vamos verificar a validade para n =1

Se n=1, então o primeiro membro da fórmula será:

∑ i = 1 1 i 4 = 1

e, do outro lado,

n n + 1 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 30 = 1 1 + 1 6 * 1 3 + 9 * 1 2 + 1 - 1 30 = 30 30 = 1

Desse modo, a fórmula é válida quando n = 1

Passo 2

Parte 2:

Vamos supor que a fórmula seja válida pra n = k, onde k é um inteiro positivo:

∑ i = 1 k i 4 = k k + 1 6 k 3 + 9 k 2 + k - 1 30

Chamaremos esta equação de equação (1) para referências futuras.

Queremos provar que a fórmula também é válida quando n = k + 1, ou seja:

∑ i = 1 k + 1 i 4 = ( k + 1 ) k + 1 + 1 6 ( k + 1 ) 3 + 9 ( k + 1 ) 2 + ( k + 1 ) - 1 30 = ( k + 1 ) k + 2 6 ( k + 1 ) 3 + 9 ( k + 1 ) 2 + k 30

(equação 2)

Quando n = k + 1, temos:

∑ i = 1 k + 1 i 4 = 1 + 2 + 3 + … + k 4 + k + 1 4 =   ∑ i = 1 k i 4 + k + 1 4

Aplicando a equação (1):

= k k + 1 6 k 3 + 9 k 2 + k - 1 30 + k + 1 4

Em equações muito extensas como é essa às vezes é complicado enxergar as propriedades que devemos aplicar na equação. Como nosso objetivo é apenas constatar se esta equação que encontramos é igual à equação 2, podemos apenas aplicar as propriedades distributivas para expandi-la e encontrar:

= k k + 1 6 k 3 + 9 k 2 + k - 1 30 + k + 1 4 = 6 k 5 + 45 k 4 + 130 k 3 + 180 k 2 + 119 k + 30 30

Fazendo o mesmo com a equação (2):

( k + 1 ) k + 2 6 ( k + 1 ) 3 + 9 ( k + 1 ) 2 + k 30 =   6 k 5 + 45 k 4 + 130 k 3 + 180 k 2 + 119 k + 30 30

Ou seja, as equações são iguais.

Passo 3

Conclusão: da parte 1 sabemos que a Fórmula é válida para n = 1. Por isso, segue da parte 2 que ela é válida para n = 1 + 1, ou 2; como é válida para n = 2, é também válida para n = 2 + 1, ou 3; e assim por diante. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é válida para todos os valores inteiros positivos de n.

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

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