Enunciado

Provar que:

(b) Se y = cosh x , então y^' = s enh x

Passo 1

Primeiro, temos que analisar quem é a função cosh x , como ela pode ser rescrita. Essa função é camada de função hiperbólica, onde cosh x pode ser reescrito como

cosh x = (e^x + e^(- x))/(2)

Então, temos que:

y = (e^x + e^(- x))/(2)

Passo 2

Podemos fazer a derivada de y = (e^x + e^(- x))/(2) um usando a derivada do quociente.

Passo 3

A equação para derivada do quociente é:

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 4

Para

y = (e^x + e^(- x))/(2)

Temos que u = e^x + e^(- x) e v = 2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = e^x + e^(- x)

u^' = e^x - 1 * e^(- x)

u^' = e^x - e^(- x)

Segundo v '

v = 2

v^' = 0

Porque a derivada de uma constante é zero.

Terceiro v^2

v = 2

v^2 = 4

Passo 5

Agora vamos aplicar em y '

y^' = ((e^x - e^(- x)) * 2 - 0 * ( e^x - e^(- x) ))/(4)

y^' = (2 * ( e^x - e^(- x) ))/(4)

Como temos 2 multiplicando em cima e 4 em baixo, podemos simplificar

y^' = (e^x - e^(- x))/(2)

Passo 6

Podemos reescrever y^' = (e^x - e^(- x))/(2) , segundo a fórmula de função hiperbólica

y^' = (e^x - e^(- x))/(2) = s e n h x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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