Provar que:

(b) Se y = cosh x , então y' = senh(x)

Passo 1

Primeiro, temos que analisar quem é a função cosh ⁡ x , como ela pode ser rescrita. Essa função é camada de função hiperbólica, onde cosh ⁡ x   pode ser reescrito como

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então, temos que:

y = e x + e - x 2

Passo 2

Podemos fazer a derivada de y = e x + e - x 2 um usando a derivada do quociente.

Passo 3

A equação para derivada do quociente é:

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 4

Para

y = e x + e - x 2

Temos que u = e x + e - x e v = 2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = e x + e - x

u ' = e x - 1 ∙ e - x

u ' = e x - e - x

Segundo v '

v = 2

v ' = 0

Porque a derivada de uma constante é zero.

Terceiro v 2

v = 2

v 2 = 4

Passo 5

Agora vamos aplicar em y '

y ' = e x - e - x ∙ 2 - 0 ∙ ( e x - e - x ) 4

y ' = 2 ∙ ( e x - e - x ) 4

Como temos 2   multiplicando em cima e 4 em baixo, podemos simplificar

y ' = e x - e - x 2

Passo 6

Podemos reescrever y ' = e x - e - x 2 , segundo a fórmula de função hiperbólica

y ' = e x - e - x 2 = s e n h ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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