Provar que:

(b) Se y = sech x , então y' = -sech(x) \* tgh(x)

Passo 1

Primeiro, temos que ver o que é a secante.

sec ⁡ x = 1 s en ⁡ x

Passo 2

Agora, temos que analisar que estamos trabalhando com funções hiberbólicas, temos que reescrever sec ⁡ x como sec h ⁡ x .

sec h ⁡ x = 1 cos h ⁡ x

Reescrevendo as funções senh ⁡ x e cos ⁡ x , temos:

cos h ⁡ x = e x + e - x 2

Passo 3

Aplicando em y , temos

y = 1 e x + e - x 2

Reelembrando que na divisão de frações mantemos a primeira e invertemos a segunda

y = 1 ∙ 2 e x + e - x

y = 2 e x + e - x

Passo 4

Podemos fazer a derivada de y = 2 e x + e - x um usando a derivada do quociente.

Passo 5

A equação para derivada do quociente é:

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 6

Para

y = 2 e x + e - x

Temos que u = 2 e v = e x + e - x

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 2

u ' = 0

Segundo v '

v = e x + e - x

v ' = e x - 1 ∙ e - x

v ' = e x - e - x

Terceiro v 2

v = e x + e - x

v 2 = e x + e - x 2

Passo 7

Agora vamos aplicar em y '

y ' = 0 ∙ e x + e - x - e x - e - x ∙ 2 e x + e - x 2

y ' = 0 - e x - e - x ∙ 2 e x + e - x 2

y ' = - 2 ∙ e x - e - x e x + e - x 2

Passo 8

Podemos separar em duas frações

y ' = - 2 e x + e - x ∙ e x - e - x e x + e - x

Passo 9

Observando os termos, temos que

- 2 e x + e - x = - sech ⁡ x  

E que

e x - e - x e x + e - x =   tg h ⁡ x

Passo 10

Podemos reescrever y ' , em termos de sech ⁡ x

y ' = - 2 e x + e - x ∙ e x - e - x e x + e - x = - sech ⁡ x ∙ tgh ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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