Enunciado

Prove que D x n s e n   x = s e n   x + 1 2 n π . (Sugestão: use a indução matemática e as fórmulas s e n   x + 1 2 π = cos ⁡ x ou cos ⁡ x + 1 2 π = - s e n   x após a derivação.)

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que D x n s e n   x = s e n   x + 1 2 n π e dá como sugestão usarmos o princípio da indução finita (PIF). Para isso, precisamos provar que

  1. A relação vale para n = 1 .
  2. Se ela valer para n = k , então ela valerá para n = k + 1 .

Uma forma de pensar nisso é como se vários dominós estivessem enfileirados: quando um cai, o seguinte derrubando o próximo, e assim por diante. A etapa (ii) prova exatamente isso: se um cai, o seguinte cai também, enquanto a etapa (i) garante que o primeiro cai. Assim, juntando ambas, temos que o primeiro cai e derruba o segundo, que por sua vez derruba o terceiro e assim por diante...

Quando provamos uma relação matemática por indução, na prática é isso que estamos fazendo!

Passo 2

Vamos provar primeiro (i). É fácil ver que

D x 1 s e n   x = s e n   x ' = cos ⁡ x

Agora, no enunciado foi dado que cos ⁡ x = s e n   x + 1 2 π . Assim,

D x 1 s e n   x = s e n   x + 1 2 π = s e n   x + 1 2 ⋅ 1 ⋅ π

Vemos assim que a expressão D x n s e n   x = s e n   x + 1 2 n π vale para n = 1 .

Passo 3

Agora vamos provar a parte (ii). Para isso, vamos supor que a relação vale para n = k , isto é,

D x k s e n   x = s e n   x + 1 2 k π

Derivando essa expressão, temos que

D x k + 1 s e n   x = s e n   x + 1 2 k π ' = cos ⁡ x + 1 2 k π

Por outro lado, sabemos que cos ⁡ θ = s e n   θ + 1 2 π (troquei x por θ para a visualização ficar mais fácil). Desta forma, chamando θ = x + 1 2 k π , temos

cos ⁡ x + 1 2 k π = s e n   x + 1 2 k π + 1 2 π = s e n   x + 1 2 k + 1 π

Portanto,

D x k + 1 s e n   x = s e n   x + 1 2 k + 1 π

Vemos assim que se a expressão vale para n = k , então ela valerá para n = k + 1 . Como ela é válida para n = 1 , por indução provamos que ela vale para qualquer natural n .

Resposta

Demonstração.

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