Enunciado

Se f ' ( x_1 ) existir, prove que

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = f (x_1) - x_1 f ' ( x_1 )

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = f (x_1) - x_1 f^' (x_1) ,

sabendo que f é derivável em x = x_1 . Note que o que queremos mostrar é muito parecido com a regra do produto para a derivação. Assim, vamos tentar proceder da mesma forma que se faz para demonstrar essa regra: no numerador, vamos somar e subtrair o termo x_1 f ( x_1 ) :

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f (x_1) + x_1 f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1)

Assim, podemos fazer duas fatorações:

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = underset(x -> x_1)(lim) (f (x_1) (x - x_1) - x_1 (f (x) - f (x_1)))/(x - x_1)

Passo 2

Desta forma, temos que

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = underset(x -> x_1)(lim) f (x_1) - x_1 (f (x) - f ( x_1 ))/(x - x_1)

Pela regra da soma dos limites:

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = underset(x -> x_1)(lim) f ( x_1 ) - underset(x -> x_1)(lim) x_1 (f (x) - f ( x_1 ))/(x - x_1)

Como f ( x_1 ) é um número fixo, o primeiro limite dá simplesmente f ( x_1 ) . No segundo limite, podemos tirar x_1 para fora pois ele também é uma constante:

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = f (x_1) - x_1 * underset(x -> x_1)(lim) (f (x) - f ( x_1 ))/(x - x_1)

Passo 3

Por fim, como f é derivável em x = x_1 , temos que

underset(x -> x_1)(lim) (f (x) - f ( x_1 ))/(x - x_1) = f ' ( x_1 )

Assim,

underset(x -> x_1)(lim) (x f (x_1) - x_1 f ( x ))/(x - x_1) = f (x_1) - x_1 f ' ( x_1 )

Resposta

Demonstração.

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