Enunciado

Dê um exemplo de duas funções f e g para as quais f é derivável em g ( 0 ) , g não é derivável em 0 e f ∘ g é derivável em 0 .

Passo 1

Essa é mais uma questão para acabar com alguns mitos da regra da cadeia! Não é porque g ' ( x ) não existe que ( f ∘ g ) ' ( x ) não vai existir. Se g ' ( x ) , não podemos aplicar a regra da cadeia para achar ( f ∘ g ) ' ( x ) , porém não é possível saber à priori se essa derivada existe ou não. A questão pede justamente para darmos um exemplo que a derivada da composta existe, mesmo que g não seja derivável!

Precisamos então achar uma função f derivável em x = 0 e uma função g que não seja derivável nesse ponto, de modo que f ∘ g admita derivada. Vamos começar primeiro por g e depois tentar achar uma f que torne f g x derivável.

Uma função que todos conhecemos que não é derivável em x = 0 é a raiz quadrada, então vamos tentar

g x = x

Passo 2

Bom, com g x = x , devemos achar f derivável em g 0 = 0 para que f g x seja derivável em x = 0 . Para isso, vamos fazer a seguinte pergunta: por que x = x 1 / 2 não é derivável em x = 0 ? Ora, a resposta para essa pergunta é simples: toda função do tipo x q , com q ≠ 0 racional, não é derivável se q < 1 . Assim, o que devemos fazer para tornar a composta derivável é escolher uma f que aplicada em g x = x 1 / 2 seja uma função potência com expoente maior que 1 . Isso é muito fácil: f x = x 4 resolve nosso problema!

f g x = g x 4 = x 4 = x 2

Portanto, f ∘ g ' x = 2 x , de modo que f ∘ g ' 0 = 0 . Desta forma, vemos que a escolha f x = x 4 e g x = x torna f ∘ g derivável na origem!

Resposta

f x = x 4     e     g x = x

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