48. Se x^n \* y^m = (x + y)^(n + m) , prove que x dy/dx = y

Passo 1

O enunciado da questão não nos traz muitas informações, mas para provar o que ele pede basta utilizar o que foi dado no enunciado e o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a expressão dada, temos

n . x n - 1 . d x d x . y m + x n . m . y m - 1 . d y d x = n + m . x + y n + m - 1 . d x d x . ( 1 . d x d x + 1 . d y d x )

Passo 3

Obtendo a igualdade necessária

n x n y m x + m x n y m y . d y d x = n + m . x + y n + m x + y + n + m . x + y n + m x + y . d y d x

m x + y n + m y . d y d x - n + m . x + y n + m x + y . d y d x = n + m . x + y n + m x + y - n x n y m x

x + y n + m . d y d x m y - n + m x + y = x + y n + m n + m x + y - n x

d y d x x + y m - y ( n + m ) y . ( x + y ) = x n + m - n ( x + y ) x ( x + y )

d y d x m x + m y - n y - m y y = ( n x + m x - n x - n y x )

Portanto, x .   d y d x = y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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