Enunciado

Um partícula se move com uma função posição

S = t 4 - 4 t 3 - 20 t 2 + 20 t             t ≥ 0

(a) Quando a partícula tem a velocidade de 20 m/s?

(b) Quando a aceleração é 0 ? Qual é o significado deste valor de t ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu quer saber em que momento a velocidade da partícula é de 20   m / s e quando a aceleração dela é 0 , sabendo que essa partícula se move de acordo com a função posição:

S = t 4 - 4 t 3 - 20 t 2 + 20 t             t ≥ 0

Para isso, a gente vai utilizar as derivadas. Isso porque a velocidade da partícula é definida como a derivada da posição em relação ao tempo:

v = d s d t

E a aceleração é definida pela derivada da velocidade em função do tempo, ou seja:

a = d v d t

Então, basta a gente derivar s e depois substituir os valores dados. Vamos lá!

Passo 2

Derivando a nossa função posição, vamos obter a velocidade:

v t = d d t t 4 - 4 t 3 - 20 t 2 + 20 t

Usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ), temos:

v t = 4 t 3 - 12 t 2 - 40 t + 20

Passo 3

Se a gente fizer v = 20 , teremos:

20 = 4 t 3 - 12 t 2 - 40 t + 20

Simplificando:

4 t 3 - 12 t 2 - 40 t = 0

Colocando t em evidência, temos:

t 4 t 2 - 12 t - 40 = 0

Para que esse produto seja verdadeiro, pelo menos um dos termos tem que ser zero, então temos:

t 1 = 0

Ou

4 t 2 - 12 t - 40 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, obteremos:

t 2 = 5   s

t 3 = - 2   s

Como t ≥ 0 , a velocidade será 20   m / s em t = 5   s e em t = 0   s .

Passo 4

Agora se liga se a gente derivar v t , vamos obter a nossa aceleração:

a t = d d t 4 t 3 - 12 t 2 - 40 t + 20

Usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ), temos:

a ( t ) = 12 t 2 - 24 t - 40

Passo 5

Fazendo a = 0 , temos:

12 t 2 - 24 t - 40 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, usando Bhaskara, temos:

t = - ( - 24 ) ± ( - 24 ) 2 - 4 ∙ 12 ∙ ( - 40 ) 2 ∙ 12

t = 24 ± 2496 24

E encontramos as raízes:

t 1 = 3,08   s

t 2 = - 1,08   s

Como t ≥ 0 , a aceleração será 0 em t = 3,08   s .

Como o tempo para a aceleração ser igual a zero é menor que o tempo para a velocidade ser 20 m/s, isso mostra que a partícula teve uma mudança de direção durante a sua trajetória.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) t = 5   s

b) t = 3,08   s

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