Prove que f(x) = x + 1 / x é contínua em todo p > 0 .

Passo 1

Uma função contínua em um ponto p que para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

Agora é aplicar!

Passo 2

Então vamos começar calculando quem é f x - f p

Temos que para um p > 0

f x - f p = x + 1 x - p + 1 p = x - p + 1 x - 1 p

= x - p + p - x x p = x - p - x - p x p

Colocando x - p em evidência,

= x - p 1 - 1 x p

Logo,

f x - f p = x - p 1 - 1 x p

Por propriedade do módulo:

1 - 1 x p ≤ 1 + - 1 x p

Como x > 0 e p > 0 :

1 - 1 x p ≤ 1 + 1 x p

Então:

f x - f p = x - p 1 - 1 x p ≤ x - p 1 + 1 x p

f x - f p ≤ x - p 1 + 1 x p

Agora vamos analisar alguns possíveis valores de x .

Passo 3

Se x > 0 e p > 0 , temos que x p > 0 e assim:

1 x p > 0

1 + 1 x p > 1

1 + 1 x p x - p > 1 x - p

x - p < 1 + 1 x p x - p

Assim, mostramos que x - p < 1 + 1 x p x - p e ao mesmo tempo temos que f x - f p ≤ x - p 1 + 1 x p

Passo 4

Se pegarmos qualquer x > p 2 :

x p > p 2 2

1 x p < 2 p 2

1 + 1 x p < 1 + 2 p 2

x - p 1 + 1 x p < x - p 1 + 2 p 2

f x - f p ≤ x - p 1 + 1 x p < x - p 1 + 2 p 2

f x - f p < x - p 1 + 2 p 2

Para f ser contínua em p , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando δ como sendo o menor valor entre p 2 e ϵ 1 + 2 p 2 , podemos afirmar que

x - p < δ   ⇒ f x - f p < ϵ

E, portanto, f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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