Enunciado

Prove que f (x) = x + (1)/(x) é contínua em todo p > 0 .

Passo 1

Uma função contínua em um ponto p que para todo ϵ > 0 existe delta > 0 tal um x qualquer do domínio, a função é contínua em p se:

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

Agora é aplicar!

Passo 2

Então vamos começar calculando quem é |f (x) - f (p)|

Temos que para um p > 0

|f (x) - f (p)| = |x + (1)/(x) - (p + (1)/(p))| = |x - p + (1)/(x) - (1)/(p)|

= |(x - p) + (p - x)/(x p)| = |(x - p) - ((x - p))/(x p)|

Colocando (x - p) em evidência,

= |(x - p) (1 - (1)/(x p))|

Logo,

|f (x) - f (p)| = |x - p| |1 - (1)/(x p)|

Por propriedade do módulo:

|1 - (1)/(x p)| <= 1 + |- (1)/(x p)|

Como x > 0 e p > 0 :

|1 - (1)/(x p)| <= 1 + (1)/(x p)

Então:

|f (x) - f (p)| = |x - p| |1 - (1)/(x p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

|f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

Agora vamos analisar alguns possíveis valores de x .

Passo 3

Se x > 0 e p > 0 , temos que x p > 0 e assim:

(1)/(x p) > 0

1 + (1)/(x p) > 1

(1 + (1)/(x p)) |x - p| > 1 |x - p|

|x - p| < (1 + (1)/(x p)) |x - p|

Assim, mostramos que |x - p| < (1 + (1)/(x p)) |x - p| e ao mesmo tempo temos que |f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p))

Passo 4

Se pegarmos qualquer x > (p)/(2) :

x p > (p^2)/(2)

(1)/(x p) < (2)/(p^2)

1 + (1)/(x p) < 1 + (2)/(p^2)

|x - p| (1 + (1)/(x p)) < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

|f (x) - f (p)| <= |x - p| (1 + (1)/(x p)) < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

|f (x) - f (p)| < |x - p| (1 + (2)/(p^2))

Para f ser contínua em p , temos que para um valor ϵ > 0 e tomando delta como sendo o menor valor entre (p)/(2) e (ϵ)/((1 + (2)/(p^2))) , podemos afirmar que

|x - p| < delta => |f (x) - f (p)| < ϵ

E, portanto, f é contínua em p .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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