Enunciado

Suponha  f   definida e contínua em  R  e que  f x = 0 para todo  x  racional. Prove que  f ( x )   =   0 para todo  x   real.

Passo 1

Fala aí, tudo certinho?

Vamos lá, resolver mais um exercício! Essa questão é bem teórica, mas é importante pra gente ficar ligado nos teoremas, ok?

Para provar isso, vamos começar supondo que existe um p real, de forma que f ( p )   ≠   0 … E o que eu fazer com essa informação?

Bom, vamos relembrar do teorema da conservação dos sinais, ele diz que: se f for contínua em p e f ( p )   ≠   0 então vai existir um δ > 0 tal que f ( x ) conservará o sinal de f ( p ) e teremos que:

p - δ   <   x   <   p + δ .

Hum… Vamos pensar sobre isso…

Passo 2

O enunciado está nos pedindo para provar que f ( x )   =   0 em todo x real… Bom, se a gente supor que p é racional e que f p = 0 , no intervalo de p - δ até p + δ , vai existir pelo menos um número racional onde teremos um δ > 0 para ser verdade que f x = 0 , ok?

Mas, veja bem... isso é uma grandessíssima contradição. Nós descrevemos o teorema da conservação ali em cima, lembra?

O exercício nos propõe que f x = 0 dentro do intervalo. No entanto, pelo teorema existirá um δ > 0 tal que f ( x )   ≠   0 e aqui teremos pelo menos um número racional… Isso significa que provamos que, nessas condições, não vamos ter um f ( x )   =   0 para todo  x   real.

Ops! Nossa conclusão foi que não é possível ter o que o enunciado nos pediu pra provar!

Resposta

Supondo que existe um p real tal que f ( p )   ≠   0 e usando o teorema da conservação do sinal, teremos um δ > 0 tal que f ( x )   ≠   0 para p - δ < x < p + δ … E isso é impossível, pois entre p - δ e p + δ deve existir pelo menos um número racional.

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