Enunciado

17. Prove que (d)/(d x) (cossec x) = - cossec x cotg x

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui devemos provar a derivada. Iremos fazer isso, derivando HEHE. Mas para isso, iremos manipular a função pois estamos trabalhando com função trigonométrica.

Podemos reescrever a cossecante como 1 sobre o seno:

cossec x = (1)/(sen x)

Aplicando a derivada a essa expressão, temos;

(d)/(d x) (cossec x) = (d)/(d x) ((1)/(sen x))

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente:

(d)/(d x) ((u)/(v)) = (v u^' - u v ')/(v^2)

(d)/(d x) (cossec x) = ((d)/(d x) (1) * sen x - (d)/(d x) (sen x) * 1)/((sen x)^2)

A derivada do seno é o cosseno e a derivada de um é zero pois é constante:

(d)/(d x) (cossec x) = ((0) * sen x - (cos x))/((sen x)^2)

(d)/(d x) (cossec x) = (- cos x)/((sen x)^2)

Passo 3

Podemos reescrever a expressão dessa forma:

(d)/(d x) (cossec x) = (- cos x)/(sen x * sen x)

(d)/(d x) (cossec x) = - (1)/(sen x) * (cos x)/(sen x)

Das relações trigonométricas podemos observar duas coisas:

(1)/(sen x) = cossec x

e

(cos x)/(sen x) = cotg x

Então nossa equação fica:

(d)/(d x) (cossec x) = - cossec x * cotg x

O que prova o que queríamos.

Resposta

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