Enunciado

Verifique por derivação que a fórmula está correta.

∫ tan 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x + C

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que verificar por derivação que a seguinte fórmula está correta:

∫ tan 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x + C

A gente tem que a integral indefinida de uma função f ( x ) resulta na sua antiderivada geral, ou seja:

∫ f x d x = F x

Onde F ( x ) quando derivado é a própria função que está dentro da integral:

F ' x = f ( x )

Bom galera, se a gente pensar a questão quer que a gente prove, portanto que:

tan 2 ⁡ x = d d x tan ⁡ x - x + C

Logo vamos ter que derivar isso:

tan ⁡ x - x + C

Passo 2

Beleza, derivada de uma constante é 0 então C some, agora a gente deriva isso:

tan ⁡ x - x

Pela regra da soma vamos divididir em:

d d x tan ⁡ x - d d x ( x )

A derivada de x pela regra da potência de x é dada por:

x ' = 1 x 0 = 1

Logo,

d d x x = 1

Vamos agora derivar a tan ⁡ x :

tan ⁡ x ' = sin ⁡ x cos ⁡ x '

Usando a regra da derivada da divisão fica:

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = sin ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x

= ( cos ⁡ x ) ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x ⋅ - sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

= cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Lembra da trigonometria lá que: sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , a gente coloca isso:

= 1 cos 2 ⁡ x

Talvez você lembre que a derivada da tangente é igual a secante ao quadrado:

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

E foi exatamente isso que encontramos, afinal secante nada mais é que 1 / c o s s e n o .

tan ⁡ x ' = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Pronto, vamos voltar para nossa função:

d d x tan ⁡ x - d d x x = 1 cos 2 ⁡ x - 1

Realizando o MMC e a subtração, teremos:

= 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Denovo aquele teorema da trigonometria:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Dessa forma, temos:

1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

= tan 2 ⁡ x

Pronto, acabamos de provar o que a questão pediu.

tan ⁡ x - x + C ' = tan 2 ⁡ x

Resposta

Desenvolvimento nos Passos.

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