Enunciado

Verifique por derivação que a fórmula está correta.

∫ tan 2 ⁡ x d x = tan ⁡ x - x + C

Passo 1

Bom galera, se a gente pensar a questão quer que a gente prove:

tan 2 ⁡ x = d d x tan ⁡ x - x + C

Então vamos ter que derivar isso:

tan ⁡ x - x + C

Passo 2

Beleza, derivada de uma constante é 0 então C some, agora a gente deriva isso:

tan ⁡ x - x

Pela regra da soma vamos divididir em:

d d x tan ⁡ x - d d x ( x )

Vamos começar derivando tan ⁡ x :

tan ⁡ x ' = sin ⁡ x cos ⁡ x '

Usando a regra da derivada da divisão fica:

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = sin ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x

= ( cos ⁡ x ) ⋅ cos ⁡ x - sin ⁡ x ⋅ - sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

= cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Lembra da trigonometria lá que: sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , a gente coloca isso:

= 1 cos 2 ⁡ x

Passo 3

Pronto, vamos voltar para nossa função:

d d x tan ⁡ x - d d x ( x )

→ 1 cos 2 ⁡ x - 1 = 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Denovo aquele teorema da trigonometria: sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

= tan 2 ⁡ x

Pronto, acabamos de provar o que a questão pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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