Enunciado

  1. Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real. (b) Use recursos gráficos para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal

54.

x - 5 = 1 x + 3

Passo 1

Olá, meu nobre. Pronto para aprender hoje?

Aqui temos uma questão que muitos alunos não gostam, pois devemos provar algo. Mas veja bem, vai ser mais fácil do que parece.

A ideia aqui é utilizar o Teorema de Valor Intermediária para descobrirmos um valor de f ( x ) positivo e outro negativo, pois de acordo com o Teorema, podemos afirmar que existe uma raiz entre esses valores de x (um positivo e outro negativo).

O teorema do valor intermediário diz o seguinte:

Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado a , b e seja N   um número qualquer entre f a e f b , em que f b ≠ f a . Existe um número c   em a , b tal que f c = N .

Resumindo, a gente precisa escolher um intervalo ( a , b ) , onde o nosso número N , que no nosso caso é zero está entre:

f ( a ) < N < f ( b )

f ( a ) < 0 < f ( b )

Passo 2

Vamos primeiro reescrever nossa equação:

x - 5 x + 3 = 1

Agora colocando em função de x  

f x = x - 5 x + 3 - 1

f x é um polinômio, e por ser um polinômio é continua em todo o seu domínio, que nesse caso é:

D f x   =   x   ∈ R     x   ≥ 5

Nosso objetivo então é descobrir dois valores de f ( x ) tais que o 0 esteja entre eles:

f ( x ) = ( x + 3 ) x - 5   - 1

Para encontrarmos quais são esses valores cabe uma análise da função.

Jogaremos valores aleatórios para x , até encontrarmos dois valores nos quais o 0 esteja entre eles:

f ( 5 ) = ( 5 + 3 ) 5 - 5 - 1 = - 1

f ( 6 ) = ( 6 + 3 ) 6 - 5 - 1 = 7

Opa! Entre 6 e 5 a função muda de sinal, logo tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Quando x = 5 e x = 6 , temos dois valores em que o 0 está contido entre eles, como f ( x ) é contínua, podemos afirmar que existe um valor para o qual f ( x ) = 0 , e esse valor está entre 5,6 :

Raiz, pelo método gráfico é 5,016

Resposta

Raiz, pelo método gráfico é 5,016

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Use o teorema do valor intermediário nos Exercícios 71 -78 para provar que cada equação tem uma solução. Em seguida, utilize uma calculadora gráfica ou um computador com software gráfico para resolver
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