Lista de Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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A partir dos gráficos abaixo, justifique, se para cada função:

  1. A tese do Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.
  2. A hipótese Teorema do Valor Intermediário é satisfeita.

Obs: A tese pode ser interpretada como o “resultado” de um teorema. A hipótese pode ser interpretada como a “condição” para que o teorema funcione.

a):

b):

c):

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Seja f uma função contínua em ℝ tal que f 0 = 1 e f 2 = - 1 , e seja g x = x 2 + 3 x + 2 . A função composta h x = f g x possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

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Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b , a função tenha sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ] e

a ) a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

b )   a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

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Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg ⁡ x têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 , π 2 .

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Mostre que a equação x 3 - 15 x + 1 = 0 possui três soluções no intervalo [ - 4 ; 4 ]

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Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.

f x = 1 + x c o s π x 2

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Determine um intervalo de amplitude 1 , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

f x = x 3 + 3 x - 5

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Determine um intervalo de amplitude 1 , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

f x = x 3 + x - 1

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Utilizando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) justifique que a equação

x 2 = sen ⁡ x

possui uma solução não nula.

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Considere a função f   : - 1,1 → R dada por

f x = sen ⁡ π 2 x x + 2

( a ) Mostre que existe x   ∈ ( - 1,1 ) tal que f x = 0 . (Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário).

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Sejam f   : - 1,1 → R e g   :   R → R dadas por

f x = x 2 - x 1 + 3 x 2           e         g x = a x - 5 2 - b x - 2 3

Onde a e b são constantes reais positivas.

c   Prove que g tem pelo menos uma raiz no intervalo 2,5 .

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Se uma função f   muda de sinal quando x varia de um ponto x   =   x 1 para o ponto x   =   x 2 , existirá obrigatoriamente um ponto entre x 1 e x 2 onde a função f se anula? Justifique sua resposta.

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Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x = a e x = b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo a ,   b e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

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Considere as alternativas abaixo:

  1. Se f é contínua em R e f 1 > 2 e f 4 > 2 então, pelo Teorema do Valor Intermediário, f x > 2 para todo x no intervalo ( 1,4 ) .
  2. Se h é contínua no intervalo 0,4 ,   h 1 = 2 e h 3 = π , então existe c ∈ ( 1,3 ) tal que h c = 2 .

É verdadeira ou são verdadeiras:

  1. Somente a afirmativa (II)
  2. Nenhuma das afirmativas.
  3. Somente a afirmativa (I).
  4. As afirmativas (I) e (II).

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Verifique que a equação e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2 possui pelo menos alguma solução para um x positivo.

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Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 cos ⁡ ( x )

possui uma solução positiva.

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Mostre que a função

f x =   7 - ( 16 ) 1 x 1 + ( 16 ) 1 x

assume o valor 1 no intervalo ( 2 ,   4 ) .

Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

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Sobre a equação cos ⁡ x = x , é correto afirmar:

  1. Admite solução no intervalo 0,1 .
  2. Não admite solução real.
  3. Admite solução no intervalo [ 1 , ∞ ) .
  4. Admite solução no intervalo - ∞ , - 1 .
  5. Admite solução no intervalo - 1,0 .

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Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tan ⁡ x tem interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 ,   π 2 .

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Determine um intervalo de amplitude 1 , no qual está localizado pelo menos um zero da função.

f x = 1 + x cos ⁡ π x 2

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Questão 4:

Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação cos ⁡ x + 1 = x 2 tem uma solução no 0 , π 2 .

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Use o Teorema do Valor intermediário ( T V I ) para mostrar que a equação 2 x - 4 = log 2 ⁡ ( x ) tem uma solução no intervalo ( 2,4 ) .

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Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 - x

tem pelo menos uma raiz real.

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Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x = a e x = b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo a ,   b e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

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Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manha e segue sua caminhada

usual ate o topo da montanha, chegando lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte ele parte

do topo as 7 horas da manha e, andando pelo mesmo caminho, chega no monastério as 7

horas da noite. Mostre que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente

na mesma hora do dia em ambas caminhadas.

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Q05) Use o teorema do valor intermediário (TVI) para mostrar que a equação

sin ⁡ x = 4 - 2 x

Tem uma solução no intervalo 0 , π 2 . Relembre que π ≅ 3,14

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