31. Prove que, se f for uma função ímpar, então

∫ - L L f x d x = 0

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, vamos começar dividindo a integral em duas da seguinte forma:

∫ - L L f x d x = ∫ - L 0 f x d x + ∫ 0 L f x d x

Para a integral

∫ - L 0 f x d x

Podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:

x = - u

d x = - d u

Os limites de integração ficam o seguinte:

x = - L → u = L

x = 0 → u = 0

Feito isso, temos o seguinte:

∫ - L 0 f x d x = - ∫ L 0 f - u d u

Passo 2

Foi dito que f x é uma função impar, logo, f u também será. Com essa afirmação podemos dizer que:

∫ L 0 f - u d u = ∫ L 0 - f u d u

Outra coisa que podemos dizer é que:

∫ L 0 f u d u = - ∫ 0 L f u d u

Assim, podemos fazer a seguinte relação:

∫ - L 0 f x d x = - ∫ L 0 f - u d u = - ∫ L 0 - f u d u =

∫ - L 0 f x d x = ∫ L 0 f u d u = - ∫ 0 L f u d u

∫ - L 0 f x d x = ∫ L 0 f u d u = - ∫ 0 L f u d u

∫ - L 0 f x d x = - ∫ 0 L f u d u

Passo 3

Substituindo o que encontramos na expressão abaixo, temos:

∫ - L L f x d x = ∫ - L 0 f x d x + ∫ 0 L f x d x

∫ - L L f x d x = - ∫ 0 L f u d u + ∫ 0 L f x d x

Podemos dizer que u = x e assim temos que:

∫ - L L f x d x = - ∫ 0 L f x d x + ∫ 0 L f x d x

∫ - L L f x d x = 0

Assim, provamos que se f x é impar, então:

∫ - L L f x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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