Enunciado

31. Prove que, se f for uma função ímpar, então

int_(- L)^L f (x) d x = 0

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, vamos começar dividindo a integral em duas da seguinte forma:

int_(- L)^L f (x) d x = int_(- L)^0 f (x) d x + int_0^L f (x) d x

Para a integral

int_(- L)^0 f (x) d x

Podemos fazer uma substituição de variável da seguinte maneira:

x = - u

d x = - d u

Os limites de integração ficam o seguinte:

x = - L -> u = L

x = 0 -> u = 0

Feito isso, temos o seguinte:

int_(- L)^0 f (x) d x = - int_L^0 f (- u) d u

Passo 2

Foi dito que f (x) é uma função impar, logo, f (u) também será. Com essa afirmação podemos dizer que:

int_L^0 f (- u) d u = int_L^0 - f (u) d u

Outra coisa que podemos dizer é que:

int_L^0 f (u) d u = - int_0^L f (u) d u

Assim, podemos fazer a seguinte relação:

int_(- L)^0 f (x) d x = - int_L^0 f (- u) d u = - int_L^0 - f (u) d u =

int_(- L)^0 f (x) d x = int_L^0 f (u) d u = - int_0^L f (u) d u

int_(- L)^0 f (x) d x = int_L^0 f (u) d u = - int_0^L f (u) d u

int_(- L)^0 f (x) d x = - int_0^L f (u) d u

Passo 3

Substituindo o que encontramos na expressão abaixo, temos:

int_(- L)^L f (x) d x = int_(- L)^0 f (x) d x + int_0^L f (x) d x

int_(- L)^L f (x) d x = - int_0^L f (u) d u + int_0^L f (x) d x

Podemos dizer que u = x e assim temos que:

int_(- L)^L f (x) d x = - int_0^L f (x) d x + int_0^L f (x) d x

int_(- L)^L f (x) d x = 0

Assim, provamos que se f (x) é impar, então:

int_(- L)^L f (x) d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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