Enunciado

13. Prove que qualquer função pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. Ou seja, para qualquer função f cujo domínio contém - x sempre que contiver x , mostre que há uma função par g e uma função ímpar h tal que f x = g x + h x . Sugestão: O que você pode dizer sobre f x + f - x ?

Passo 1

Fala galera!!!

Nessa questão, queremos provar que qualquer função pode ser expressa como a soma de uma função impar com uma função par. Para isso, vamos considerar que a função dada f x pode ser escrita da seguinte maneira:

f x = 1 2 f x + f - x + 1 2 f x - f - x

Agora, vamos considerar que:

g x = 1 2 f x + f - x

E também vamos considerar que:

h x = 1 2 f x - f - x

Passo 2

Para a função g x , vamos verificar seu valor substituindo x por - x . Assim temos:

g - x = 1 2 f - x + f - - x

g - x = 1 2 f - x + f x

g - x = 1 2 f x + f - x

g - x = g x

Podemos perceber que g x e g - x são iguais, ou seja, g x é uma função par.

Passo 3

Para a função h x , vamos verificar seu valor substituindo x por - x . Assim temos:

h - x = 1 2 f - x - f - - x

h - x = 1 2 f - x - f x

h - x = - 1 2 - f - x + f x

h - x = - 1 2 f x - f - x

h - x = - h x

Podemos perceber que h - x e - h x são iguais, ou seja, h x é uma função impar.

Passo 4

Portanto, para qualquer função f cujo domínio contém - x , sempre que contém x , existem funções pares e ímpares g x e h x respectivamente, de modo que

f x = 1 2 f x + f - x + 1 2 f x - f - x

f x = g x + h x

ou seja, qualquer função pode ser expressa como uma soma de duas outras funções, uma das quais é par e a outra é ímpar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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