Enunciado

Prove que se P ( x ,   y ) for um ponto cujas coordenadas satisfazem a equação ( 5 ) , então:

F P - - F ' P - = 2 a

onde F e F ' são os focos da hipérbole da Figura 2. (Sugestão: use o método similar sugerido para a elipse nos Exercícios 42 e 43 dos exercícios 10.2.)

Passo 1

As informações que temos, segundo a teoria do livro, são essas:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

a 2 + b 2 = c ²

No qual a primeira equação é a equação da hipérbole e a segunda fórmula se refere ao ponto c dos focos da hipérbole. Antes de iniciar os cálculos, vamos plotar novamente a hipérbole da figura 2, saca só:

Passo 2

Da figura acima, nós temos o seguinte, galera:

F P - = x - c 2 + y 2   e   F ' P - = x + c 2 + y 2

Então, para facilitar, vamos resolver só dentro da raíz, ok? Além disso, como o que muda é apenas o sinal de c , então vamos resolver apenas uma expressão do teorema com ± , belê? Tá confuso? Prometo que não é um bixo de 7 cabeças, saca só:

x ± c 2 + y 2 = x 2 ± 2 c x + c 2 + y 2

Mas quem é y ² ? Da expressão x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Temos que:

b 2 x 2 a 2 - b 2 = y ²

Substituindo, teremos:

x ± c 2 + y 2 = x 2 ± 2 c x + c 2 + b 2 x 2 a 2 - b 2

x ± c 2 + y 2 = a 2 + b 2 x 2 a 2 ± 2 c x + c 2 - b 2

x ± c 2 + y 2 = c 2 x 2 a 2 ± 2 c x + a 2 = c x a ± a 2

Ademais, temos que c a x > x ≥ a , onde:

c x a - a = c x a - a

c x a + a = c x a + a

Passo 3

Agora que temos simplificamos as expressão que se encontravam dentro das raízes, de acordo com enunciado, temos:

F P - - F ' P - = 2 a

x - c 2 + y 2 - x + c 2 + y 2 = c x a - a - c x a + a

∴ F P - - F ' P - = c x a - a - c x a - a = 2 a

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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