Enunciado

Se f for uma função polinomial, mostre que entre duas raízes consecutivas da equação f ' x = 0 haverá no máximo uma raíz da equação f x = 0 .

Passo 1

Então galera, essa questão aqui é mais um raciocínio que envolvem os conceitos de máximos e mínimos. Uma das maneiras mais adequadas e intuitivas de se observar isso é graficamente. Se plotarmos o gráfico de uma função polinomial qualquer, galera, teremos algo desse tipo:

Mas po, o que são esses segmentos de reta aí? Então pessoal, esses são os pontos em que há máximos ou mínimos locais/relativos. A derivada de uma função não é dada por uma razão de taxa de variação? Se essa taxa de variação é zero em um determinado ponto, isto é, f ' x = 0 , isso implica que a reta tangente será horizontal, assim como representado na figura!

Passo 2

Uma vez compreendido o que são esses segmentos, vamos analisar esses pontos no qual f ' x = 0 com um pouco mais de profundidade. Galera, se a derivada em um ponto é zero, vocês concordam comigo que muito possivelmente (considerando que a função seja contínua) haverá mudança na concavidade do gráfico? A única forma de um gráfico passar de crescente para decrescente e vice-versa, é havendo um mínimo ou máximo relativo.

Vamos pegar dois segmentos de reta, assim como o enunciado solicita, ok? Pegaremos os segmentos K L - e N M - . Supondo que o nosso gráfico tocasse o eixo x após passar pelo segmento K L - , caracterizando uma raíz de f ( x ) ; seria completamente IMPOSSÍVEL haver mais de uma raíz de f ( x ) entre esses dois segmentos porque para o gráfico deixar de subir e começar a descer para poder passar novamente pelo eixo x haveria uma inversão na concavidade do gráfico! Se há mudança de concavidade no gráfico, então já formaria outro ponto onde a derivada seria zero e ainda continuaria tendo apenas uma raíz entre K L - e N M - . Se representarmos isso graficamente, teríamos isso aqui ó:

Supondo que o caminho a ser seguido fosse o pontilhado, note que para admitir outra raíz o gráfico teria que apresentar uma mudança de concavidade, o que já seria um outro ponto no qual f ' x = 0 . Sempre que forçamos para que essa situação ocorra, sempre volta no mesmo impasse: entre duas raízes de f ' x = 0 , sempre haverá, no máximo, uma raíz de f x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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