Enunciado

42. Prove o Teorema 4.4.4 (ii)

Passo 1

Primeiro vamos ver qual é o teorema que ele quer que provemos.

A parte do teorema que o enunciado pede diz o seguinte:

“Seja f uma função contínua em todos os pontos do intervalo aberto ( a , b ) contendo o número c e suponha que f ' exista em todos os pontos de ( a , b ) , exceto possivelmente em c :

(ii) se f^' (x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto, tendo c como extremo direito, e se f^' (x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto, tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor mínimo relativo em c.

Passo 2

Seja ( d , c ) , sendo d > a , o intervalo tendo c como seu extremo direito, para o qual f^' (x) < 0 para todo x no intervalo.

Usando o teorema 4.4.3 do Capítulo 4, seção 4 do livro temos que f é decrescente em [ d , c ] .

Passo 3

Seja ( c , e ) , sendo e < b , o intervalo tendo c como seu extremo esquerdo, para o qual

f^' (x) > 0 para todo x no intervalo.

Usando o teorema 4.4.3 do Capítulo 4, seção 4 do livro temos que f é crescente em [ c , e ] .

Passo 4

Como f é decrescente em [ d , c ] , segue da definição 4.4.2 do Capítulo 4, seção 4, que se x_1 está em [ d , c ] e x_1 != c , então f (x_1) > f ( c ) . Também, como f é crescente em [ c , e ] , segue da definição 4.4.1 do Capítulo 4, seção 4 do livro, que se x_1 está em [ c , e ] e x_2 != c , então f ( c ) < f ( x_2 ) , Logo pelo teorema 4.4.4 f tem um valor mínimo relativo em c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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