Enunciado

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (10) : D_x [co tgh^(- 1) u] = (1)/(1 - u^2) D_x u , |u| > 1

Passo 1

Temos que:

cot tgh^(- 1) u = (1)/(2) ln ((x + 1)/(x - 1)) , |x| > 1

Se derivarmos o lado direito dessa equação vamos achar a derivada do cosseno hiperbólico.

Para essa derivada temos que ir com bastante calma usando as regras da cadeia direitinho.

Primeiro, vamos trocar x por u (x) , e para não emborar tudo vamos colocar so u .

co tgh^(- 1) u = (1)/(2) ln ((u + 1)/(u - 1)) , |u| > 1

Vamos lá:

(co tgh^(- 1) u)^' = ((1)/(2) ln ((u + 1)/(u - 1)))^'

Pela regra da cadeia, e lembrando que

(ln x)^' = (1)/(x)

Teremos:

(cotgh^(- 1) u)^' = (1)/(2) (1)/(((u + 1)/(u - 1))) ((u + 1)/(u - 1))^'

Passo 2

Vamos para a outra parte da derivada

((u + 1)/(u - 1))^'

Usando a regra do quociente:

((u + 1)/(u - 1))^' = ((1 + u)^' (u - 1) - (u - 1)^' (1 + u))/((u - 1)^2) =

(u^' (u - 1) - u^' (1 + u))/((u - 1)^2) = - (2 u^')/((u - 1)^2)

Passo 3

Nossa expressão vai ficar

(cotgh^(- 1) u)^' = (1)/(2) (1)/(((u + 1)/(u - 1))) (- 2 u^')/((u - 1)^2)

(cotgh^(- 1) u)^' = - (2 u^')/(2 ((u + 1)/(u - 1)) (u - 1)^2)

Simplificando o (u - 1) e o 2 , vamos ter

(cotgh^(- 1) u)^' = - (u^')/((1 + u) (u - 1)) = - (u^')/(u^2 - 1)

Jogando aquele no denominador

(cotgh^(- 1) u)^' = - (u^')/((1 + u) (u - 1)) = (u^')/(1 - u^2)

Passo 4

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D_x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D_x [cotgh^(- 1) u] = (1)/(1 - u^2) D_x u

A expressão usada para derivar tinha |u| > 1 como ele pediu para provar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Enfocando conceitosA função arccotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita: cotg ⁡ x , 0xπ E a função arccossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante rest
Use um recurso computacional para aproximar a solução da equação. Quando forem usados radianos, expresse sua resposta com quatro casas decimais; quando forem usados graus, expresse-a até o décimo de g
Enfocando conceitosA função arccotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita: cotg ⁡ x , 0xπ E a função arccossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante rest
Use um recurso computacional para aproximar a solução da equação. Quando forem usados radianos, expresse sua resposta com quatro casas decimais; quando forem usados graus, expresse-a até o décimo de g
Enfocando conceitosA função arccotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita: cotg ⁡ x , 0xπ E a função arccossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante rest