Enunciado

Enfocando conceitos

A função arc cotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita:

cotg ⁡ x ,     0 < x < π

E a função arc cossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante restrita:

cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0

Use essas definições em todos os exercícios subsequentes que envolverem essas funções.

  1. Esboce os gráficos de arc cotg ⁡ x e arc cossec ⁡ x
  2. Obtenha o domínio e a imagem de arc cotg ⁡ x e arc cossec ⁡ x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamo que vamo! Vamos começar definindo:

y 1 = arc cotg ⁡ x 1

y 2 = arc  cossec ⁡ x 2

Agora a ideia vai ser a gente mexer com essas definições pra que apareçam formas mais familiares pra gente. Como temos funções trigonométricas inversas, pra gente ter uma ideia do esboço, podemos inverter:

x 1 = cotg ⁡ y 1

x 2 = cossec ⁡ y 2

O que é o mesmo que:

x 1 = 1 tg ⁡ y 1

x 2 = 1 sen ⁡ y 2

Trocando as coisas de lado, temos:

tg ⁡ y 1 = 1 x 1

sen ⁡ y 2 = 1 x 2

E fazendo a inversa trigonométrica, obtemos:

y 1 = arc  tg ⁡ 1 x 1

y 2 = arc  sen ⁡ 1 x 2

Bem mais tranquilo de esboçar assim né? Afinal, podemos usar as ferramentas de função arco mais conhecidas! As outras nem sequer tem na ferramenta gráfica que vamos usar. Com a ajuda de uma famosa ferramenta de planilhas, usando a função “=ASEN()” e “=ATAN()”, conseguimos esboçar y 1 :

Note que como o intervalo de x é 0 < x < π , removemos esses pontos, só sendo usados os indicados. Temos também o esboço de y 2 , que fica:

Aqui temos um resultado interessante. Como y 2 = arc sen ⁡ 1 x 2 e 1 x 2 = sen ⁡ y 2 são equações análogas e todo seno está limitado por - 1 e 1 , tivemos que remover desse gráfico todos os x 2 dentro do intervalo - π 2 < x 2 < π 2 ,     x 2 ≠ 0 que resultassem em 1 < 1 x 2 < - 1 . Portanto o gráfico foi feito usando só os pontos indicados, já que os outros não são né parte do domínio de y 2 = f x 2 .

Passo 2

E pelo que vimos enquanto construímos esses gráficos, achar o domínio é tranquilo. Seja:

y 1 = arc cotg ⁡ x 1 = arc tg ⁡ 1 x 1

y 2 = arc cossec ⁡ x 2 = arc sen ⁡ 1 x 2

Para:

  0 < x 1 < π

- π 2 < x 2 < π 2 ,     x 2 ≠ 0

Vimos que, para a função arc cotg ⁡ x , o domínio é o mesmo do gráfico montado. Agora, dentro do último intervalo acima, como conversamos, temos pontos fora do domínio de arc cossec ⁡ x ! O domínio então será o mesmo que pegar isso:

- π 2 < x 2 < π 2 ,     x 2 ≠ 0

E remover dele os pontos que vimos no final do passo anterior. Isto é:

1 < 1 x 2 < - 1

O resultado vai ser:

x 2 ∈           ] - π / 2 ,   - 1 [           ∪           ] 1 ,   π / 2 [

Fechemo!

Resposta

Para f x = arc cotg ⁡ x = arc tg ⁡ 1 x , temos o seguinte domínio e esboço de gráfico:

D f = x ∈           ] 0 ,   π [    

Para g x = arc cossec ⁡ x = arc sen ⁡ 1 x , temos o seguinte domínio e esboço de gráfico:

D g = x ∈           ] - π / 2 ,   - 1 [           ∪           ] 1 ,   π / 2 [  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, determine o valor exato sem utilizar recursos computacionais a ) arcsen ⁡ sen ⁡ π 7 b ) arcsen ⁡ sen ⁡ 5 π 7 c ) arc tg ⁡ tg ⁡ 13 π 6 d ) arccos ⁡ cos ⁡ 12 π 7
Em cada parte, gere o gráfico da função f com um recurso gráfico computacional e determine se f é injetora. a )f x = x 3 - 3 x + 2 b )f x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1
Enfocando conceitosEm cada parte, determine se a função f definida pela tabela é injetora
Verifique suas respostas para o Exercício 1 com um recurso gráfico computacional, determinando se os gráficos de f e g são reflexões um do outro em relação à reta y = x
Em (a)-(d), determine se f e g são funções inversas a )f x = 4 x , g x = 1 4 x b )f x = 3 x + 1 , g x = 3 x - 1 c )f x = x - 2 3 , g x = x 3 + 2 d )f x = x 4 , g x = x 4