Enunciado

Enfocando conceitos

A função arc cotg ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cotangente restrita:

cotg ⁡ x ,     0 < x < π

E a função arc cossec ⁡ x é definida como sendo a inversa da função cossecante restrita:

cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0

Use essas definições em todos os exercícios subsequentes que envolverem essas funções.

Mostre que:

b )   arc sec ⁡ x = arc cos ⁡ 1 x ,               s e   x ≥ 1

c )   arc cossec ⁡ x = arc sen ⁡ 1 x ,               s e   x ≥ 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Então, bora começar com essa letra b , ok? Pra início de conversa, a questão pede pra gente provar que:

arc sec ⁡ x = arc cos ⁡ 1 x ,               s e   x ≥ 1

Pra isso, vamos definir que:

y = arc sec ⁡ x ,     D = A   I = B

Por enquanto não precisamos nos preocupar com domínio D e imagem I da função, mas saiba que toda vez que invertemos trocamos eles, ok? Ali em cima, A , B são conjuntos numéricos. Invertendo y = f x , temos:

x = sec ⁡ y ,     D = B   I = A

x = 1 cos ⁡ y ,     D = B   I = A

Trocando cos ⁡ y e x de lado, achamos:

cos ⁡ y = 1 x ,     D = B   I = A

E invertendo de novo, temos que:

y = arc cos ⁡ 1 x ,     D = A   I = B

E olha que bacana, achamos duas expressões diferentes pra y , ambas com o mesmo domínio e imagem:

y = arc sec ⁡ x ,     D = A   I = B

y = arc cos ⁡ 1 x ,     D = A   I = B

Portanto, é válido que:

arc sec ⁡ x = arc cos ⁡ 1 x

Pra confirmar o domínio D = A = x ≥ 1 que o enunciado nos deu, basta ver que, em:

y = arc sec ⁡ x

Ou seja, enquanto y representa um arco, x representa uma secante! De uma forma geral, pra um arco genérico   α , como temos:

sec ⁡ α = 1 cos ⁡ α

Podemos encontrar os possíveis valores de sec ⁡ α se lembrarmos que a função cosseno está delimitada por:

- 1 < cos ⁡ α < 1

Invertendo então, temos:

1 1 < 1 cos ⁡ α < - 1 1

sec ⁡ α ≥ 1

E ta na mão, se x representa uma secante e toda secante de qualquer arco que seja é menor que - 1 ou maior que 1 , então x também será:

x ≥ 1

arc sec ⁡ x = arc cos ⁡ 1 x ,     S e   x ≥ 1

Passo 2

Agora vamos pra letra c ! Começando por definir

y = arc cossec ⁡ x

Vemos ainda que a questão diz que arco cossecante é a inversa da cossecante limitada pra:

cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0

Galera, se limitamos o domínio, também limitamos a imagem. Veja que:

cossec ⁡ - π 2 = - 1

cossec ⁡ π 2 = 1

Portanto, nossa cossecante é bem descrita como sendo:

y = cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0   - 1 > y > 1

y = cossec ⁡ x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0   y ≥ 1

Vamos usar essa ideia então galera! Afinal se sabemos imagem e domínio de cossec ⁡ x , sabemos de arc cossec ⁡ x , basta inverter! Portanto, partindo de

y = arc cossec ⁡ x ,     - π 2 < y < π 2 ,     y ≠ 0   x ≥ 1  

Podemos inverter a função, ficando com:

x = cossec ⁡ y ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0   y ≥ 1  

x = 1 sen ⁡ y ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0   y ≥ 1  

sen ⁡ y = 1 x ,     - π 2 < x < π 2 ,     x ≠ 0   y ≥ 1  

Invertendo a função de novo, achamos:

y = arc sen ⁡ 1 x ,     - π 2 < y < π 2 ,     y ≠ 0   x ≥ 1  

Juntando isso com a primeira definição de y , vemos que, de fato:

arc cossec ⁡ x = arc sen ⁡ 1 x ,               s e   x ≥ 1

Resposta

Provado no desenvolvimento

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