Enunciado

Prove a fórmula (3) usando uma substituição por função hiperbólica.

Passo 1

A questão pede para demonstrarmos a fórmula (3) do teorema 9.8.4 desta seção do livro usando uma substituição por função hiperbólica. No texto desta seção são demonstradas as fórmulas (1) e (2) por esse método. A fórmula que queremos demonstrar é

∫ 1 a 2 - u 2 d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a   = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u + C

Para usarmos uma substituição por função hiperbólica, temos que lembrar a relação fundamental:

cosh 2 ⁡ t - s e n h 2   t = 1 ⇒ 1 - cosh 2 ⁡ t = - s e n h 2   t

Portanto, vamos fazer a substituição u = a cosh ⁡ t , de modo que

a 2 - u 2 = - a 2   s e n h 2   t

Além disso, temos que

d u = a   s e n h   t   d t

Portanto,

I = ∫ 1 a 2 - u 2 d u = - ∫ a   s e n h   t a 2   s e n h 2 t   d t = - 1 a ∫ 1 s e n h   t   d t

Passo 2

Para fazer essa integral, lembre que a cossecante hiperbólica é o 1 sobre o seno hiperbólico, isto é

c o s s e c h   t = 1 s e n h   t

Assim,

I = - 1 a ∫ c o s s e c h   t   d t

Por outro lado, a primitiva de cossecante hiperbólica é

∫ c o s s e c h   t   d t = ln ⁡ tanh ⁡ 1 2 t + C

Assim,

I = - 1 a ln ⁡ tanh ⁡ 1 2 t + C

Se prepare que a partir de agora vamos usar várias identidades das funções hiperbólicas!

Passo 3

Sabemos que

s e n h x 2 = cosh ⁡ x - 1 2 ,                 s e   x ≥ 0   - cosh ⁡ x - 1 2 ,                     s e   x < 0

cosh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x + 1 2

Assim,

tanh ⁡ x 2 = s e n h x 2 cosh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x - 1 cosh ⁡ x + 1 ,                   s e   x ≥ 0 - cosh ⁡ x - 1 cosh ⁡ x + 1 ,                 s e   x < 0

Portanto,

ln ⁡ tanh ⁡ 1 2 t = ln ⁡ cosh ⁡ t - 1 cosh ⁡ t + 1 = 1 2 ln ⁡ cosh ⁡ t - 1 cosh ⁡ t + 1

Logo,

I = - 1 a ⋅ 1 2 ln ⁡ cosh ⁡ t - 1 cosh ⁡ t + 1 + C = 1 a ⋅ 1 2 ln ⁡ cosh ⁡ t + 1 cosh ⁡ t - 1

Agora precisamos de fórmulas para as funções inversas que foram apresentadas na seção 8.5:

1 2 ln ⁡ x + 1 x - 1 = tanh - 1 ⁡ x ,             s e   x < 1 c o t a n h - 1   x ,             s e   x > 1

Assim,

I = 1 a tanh - 1 ⁡ ( cosh ⁡ t ) + C ,         s e   cosh ⁡ t < 1 1 a c o t a n h - 1 ( cosh ⁡ t ) + C ,         s e   cosh ⁡ t > 1  

Mas como cosh ⁡ t = u / a , segue

I = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a  

Aqui provamos a primeira igualdade. Mas note que a segunda já foi provada também:

I = 1 2 a ln ⁡ 1 + cosh ⁡ t 1 - cosh ⁡ t = 1 2 a ln ⁡ a + u a - u

Eu sei que tudo isso foi muito chato e pareceu inútil, mas a única forma de provar essa relação é fazendo tudo isso e não tem como fazer sem essas fórmulas prontas. Relaxa que você não precisa decorar nenhuma dessas fórmulas muito complicadas como a integral da cossecante hiperbólica ou a definição das inversas, o importante é saber que existem fórmulas desse tipo e onde procura-las quando você precisar!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 5 4 .∫ t gxs e nx d x
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 62 . ∫ t g n xs e c 4 xd x
Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 6 8 . ∫ 0 π 2 s e n 3 t cos 3 ⁡ t d t
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 58 . ∫ 1 2 + 2 s e nx + cos ⁡ x d x
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 5 9 . ∫ t gxd x