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Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 11.1 - 1d

Prove que as funções dadas são diferenciáveis.

d) f ( x , y )   = 1 x y

Passo 1

Primeiramente, vemos que f admite derivadas parciais em todo ℝ 2 . São elas

∂ f ∂ x ( x , y ) = - 1 x 2 y e ∂ f ∂ y ( x , y ) = - 1 x y 2

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Passo 2

Devemos agora avaliar uma pequena variação de f para o cálculo de sua derivada, se existir. Isso é feito por meio da equação seguinte, que deve ser igual a zero:

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - ∂ f ∂ x ( x , y ) ⋅ a   - ∂ f ∂ y ( x , y ) ⋅ b | ( a , b ) | = 0

Daqui em diante, trataremos o numerador por E ( a , b ) , de tal modo que:

E ( a , b ) = f ( x + a , y + b ) - f ( x , y ) - ∂ f ∂ x ( x , y ) ⋅ a   - ∂ f ∂ y ( x , y ) ⋅ b

Para todo (x,y) em ℝ 2 , temos

E ( a , b ) = 1 ( x + a ) ( y + b ) - 1 x y + a x 2 y + b x y 2

⇔ E ( a , b ) = x y - ( x + a ) ( y + b ) x y ( x + a ) ( y + b ) + a y x 2 y 2 + b x x 2 y 2

⇔ E ( a , b ) = x y - x y - x b - a y - a b x y ( x + a ) ( y + b ) + a y x 2 y 2 + b x x 2 y 2

⇔ E ( a , b ) = - x b - a y - a b x y ( x + a ) ( y + b ) + a y x 2 y 2 + b x x 2 y 2

⇔ E ( a , b ) = - x b x y ( x + a ) ( y + b ) - a y x y ( x + a ) ( y + b ) - - a b x y ( x + a ) ( y + b ) + a y x 2 y 2 + b x x 2 y 2

⇔ E ( a , b ) = a y x y ( 1 x y - 1 ( x + a ) ( y + b ) ) + b x x y ( 1 x y - 1 ( x + a ) ( y + b ) ) - a b ( x + a ) ( y + b )  

⇔ E ( a , b ) = ( a y x y + b x x y ) ( 1 x y - 1 ( x + a ) ( y + b ) ) - a b ( x + a ) ( y + b )  

Passo 3

Calcularemos agora o limite.

DICA: Aqui queremos encontrar algo parecido com

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ a | ( a , b ) | , pois, l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ a a 2 + b 2 = 0

ou

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ b | ( a , b ) | , pois, l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) k ⋅ b a 2 + b 2 = 0

Como a → 0   e b → 0 , temos que ( x + a ) ( y + b ) → x y e a b   → 0 . Desse modo, o limite fica:

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) E ( a , b ) | ( a , b ) | =

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) ( a y x y + b x x y ) ( 1 x y - 1 ( x + a ) ( y + b ) ) - a b ( x + a ) ( y + b ) | ( a , b ) | =

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) ( a y x y + b x x y ) ( 1 x y - 1 x y ) - 0 x y | ( a , b ) | =

l i m ( a , b ) → ( 0,0 ) ( a y x y + b x x y ) ( 0 ) | ( a , b ) | = 0

ps.: Como (a,b) apenas tende a zero, podemos dizer “que se aproxima bastante”, mas que de fato, não zera. Por isso, podemos “dividir”, e calcularmos naturalmente o limite.

Resposta

Portanto para qualquer variação de f, temos diferenciação, e, logo, f é diferenciável em todo ( x , y ) de ℝ 2 , ou seja, f é uma função diferenciável.

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