Enunciado

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L ( x , y ) da função no ponto.

13-

f x , y = e x cos ⁡ x y ,       ( 0,0 )

Passo 1

Tanto as funções e x e c o s ⁡ ( x y ) são contínuas em qualquer ponto de x e de y , não tendo restrições sendo então diferenciável em qualquer ponto.

As funções diferenciáveis em x e em y dessa função são:

f x = e x cos ⁡ x y - y e x s i n ⁡ ( x y )

Lembrando que para essa função precisamos aplicar a regra do produto e para fazer a derivada de c o s ⁡ ( x y ) precisamos fazer a regra da cadeia.

Agora a derivada em relação a y será:

f y = - x e x s i n ⁡ ( x y )

Para essa função vamos fazer a regra da cadeia somente.

Dessa forma os valores de f x ( 0,0 ) e de f y ( 0,0 ) serão:

f x 0,0 = e 0 cos ⁡ 0 - 0 e 0 sin ⁡ 0 = 1

f y 0,0 = - 0 e 0 sin ⁡ 0 = 0

Passo 2

Agora aplicando esses resultados e pontos na linearização que tem a função igual a:

L x , y = f a , b + f x 0,0 x - a + f y ( 0,0 ) ( y - b )

Logo:

L x , y = f 0,0 + 1 x - 0 + 0 ( y - 0 )

L x , y = e 0 cos ⁡ 0 + x = 1 + x

Resposta

L x , y = 1 + x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a diferencial da função dada f x , y = a r c t g y x - a r c t g x y
Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão : 3,99 2 + 4,01 2 + 1,99 2
Calcular d f 1,1e∆ f 1,1 da função f x , y = x + y - x y 2 considerando ∆ x = 0,01e ∆ y = 1 . Comparar os resultados obtidos
Calcular a diferencial da função dada no ponto indicado f x , y = l n ⁡ ( x 2 + y 2 ); P 1 , 1
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica. Em dado instante, o raio da base é de 12 cm e a altura é de 8 cm. Usando diferencial, obter uma aproximação da variação do v