Prove que a imagem de arccosseс é [-pi, -1/2 pi] U [0, 1/2 pi] .

Passo 1

A questão pede para provarmos que a imagem do arco cossecante é - π ,   - 1 2 π ∪ 0 , 1 2 π . Para isso, vamos usar a relação dada na definição 8.1.6:

a r c c o s s e c   x = 1 2 π - arcsec ⁡ x

Além disso, vamos usar que a imagem do arco secante é 0 , 1 2 π ∪ π , 3 2 π .

Passo 2

Bom, nós temos que a imagem do arco secante é a intercessão de dois intervalos. Assim,

0 ≤ arcsec ⁡ x < 1 2 π           o u             π ≤ arcsec ⁡ x < 3 π 2

Desta forma, multiplicando por - 1 :

- π 2 < - arcsec ⁡ x ≤ 0             o u         - 3 π 2 < - arcsec ⁡ x ≤ - π

Somando 1 2 π em todo mundo:

0 < 1 2 π - arcsec ⁡ x ≤ π 2               o u             - π < 1 2 π - arcsec ⁡ x ≤ - π 2

Mas como a r c c o s s e c   x = 1 2 π - arcsec ⁡ x , temos que

- π < a r c c o s s e c   x ≤ - π 2             o u             0 < a r c c o s s e c   x ≤ π 2

Provamos assim que a imagem do arco cossecante é - π ,   - 1 2 π ∪ 0 , 1 2 π .

Resposta

Demonstração.

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