Enunciado

Prove que a imagem de a r c c o s s e c é (- pi , - (1)/(2) pi] uu (0 , (1)/(2) pi] .

Passo 1

A questão pede para provarmos que a imagem do arco cossecante é (- pi , - (1)/(2) pi] uu (0 , (1)/(2) pi] . Para isso, vamos usar a relação dada na definição 8.1.6:

a r c c o s s e c x = (1)/(2) pi - arcsec x

Além disso, vamos usar que a imagem do arco secante é [0 , (1)/(2) pi) uu [pi , (3)/(2) pi) .

Passo 2

Bom, nós temos que a imagem do arco secante é a intercessão de dois intervalos. Assim,

0 <= arcsec x < (1)/(2) pi o u pi <= arcsec x < (3 pi)/(2)

Desta forma, multiplicando por - 1 :

- (pi)/(2) < - arcsec x <= 0 o u - (3 pi)/(2) < - arcsec x <= - pi

Somando (1)/(2) pi em todo mundo:

0 < (1)/(2) pi - arcsec x <= (pi)/(2) o u - pi < (1)/(2) pi - arcsec x <= - (pi)/(2)

Mas como a r c c o s s e c x = (1)/(2) pi - arcsec x , temos que

- pi < a r c c o s s e c x <= - (pi)/(2) o u 0 < a r c c o s s e c x <= (pi)/(2)

Provamos assim que a imagem do arco cossecante é (- pi , - (1)/(2) pi] uu (0 , (1)/(2) pi] .

Resposta

Demonstração.

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