Enunciado

O princípio de Fermat (Exercício 64) também explica por que um raio de luz que passa entre ar e água se inclina (refração). Imagine dois meios uniformes (como água e ar) e um raio de luz viajando de uma fonte A em um meio para um observador B em outro meio (Figura Ex-65). Sabe-se que a luz viaja a uma velocidade constante em um meio uniforme, porém mais vagarosamente em um meio mais denso (como a água) do que em um menos denso (como o ar). Consequentemente, o percurso de menor tempo entre A e B não é necessariamente uma reta, mas uma reta quebrada de A para P e para B , permitindo que a luz leve vantagem de sua maior velocidade no meio menos denso. A Lei de Refração de Snell (biografia na página 288) afirma que a trajetória do raio de luz é tal que:

s e n   θ 1 v 1 = s e n   θ 2 v 2

Onde v 1 é a velocidade da luz no primeiro meio, v 2 , no segundo e θ 1   e   θ 2 são os ângulos mostrados na Figura Ex-65. Mostre que isso segue da hipótese de que o caminho de tempo mínimo ocorre quando d t d x = 0 .

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que o enunciado nos diz, temos que a luz sai da fonte no ponto A , bate em P e reflete seguindo para B . Sendo assim, fica claro concluirmos que a luz percorre dois trajetos, certo? O primeiro trajeto é de A até P e o segundo é de P até B . Como queremos uma expressão para o tempo (para utilizarmos o Princípio de Fermat), então vamos utilizar o conceito da cinemática. Velocidade é:

v = ∆ S t

Se isolarmos t , teremos:

t = ∆ S v

Como temos dois tempos, nossa expressão será:

t = t 1 + t 2

t = ∆ S 1 v 1 + ∆ S 2 v 2

Show!

Passo 2

Olhando para o triângulo retângulo da esquerda na figura do enunciado, temos o seguinte:

∆ S 1 2 = x 2 + a 2

∆ S 1 = x 2 + a 2

Agora olhando para o triângulo retângulo da direita, teremos:

∆ S 2 2 = c - x 2 + b 2

∆ S 2 = c - x 2 + b 2

Logo, nossa expressão será:

t = ∆ S 1 v 1 + ∆ S 2 v 2

t x = x 2 + a 2 v 1 + c - x 2 + b 2 v 2

E essa é a nossa expressão para o tempo gasto no percurso. Como o mínimo ocorre quando d t d x = 0 , então:

d t d x = x v 1 x 2 + a 2 - c - x v 2 c - x 2 + b 2

Igualando a zero:

x v 1 x 2 + a 2 - c - x v 2 c - x 2 + b 2 = 0

x v 1 x 2 + a 2 = c - x v 2 c - x 2 + b 2

Show!

Passo 3

Então galera, no passo anterior chegamos em uma igualdade muito interessante! Se observarmos bem, o lado esquerdo da equação é o seguinte:

x v 1 x 2 + a 2 = 1 v 1 . s e n   θ 1

Já o lado direito da equação é o seguinte:

c - x v 2 c - x 2 + b 2 = 1 v 2 . s e n   θ 2

Se substituirmos esses resultados, teremos:

1 v 1 . s e n   θ 1 = 1 v 2 . s e n   θ 2

Como queríamos demonstrar!

E essa é a nossa prova, galera! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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